Mantık Konu Anlatımı

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin ‘‘ise’’ bağlacı ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve bu koşullu önerme $\displaystyle p\Rightarrow q$ biçiminde gösterilir.
$\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış diğer durumlarda doğrudur.

Örnek:

• p : ‘‘Batuhan evinde boşa yanan lambayı söndürür.”
• q : ‘‘Batuhan parasından tasarruf eder.’’
Yukarıda verilen önermelere göre $\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesini yazalım.

$\displaystyle p\Rightarrow q$ : ’’Batuhan evinde boşa yanan lambayı söndürür ise parasından tasarruf eder.’’

Örnek 19

$\displaystyle p\equiv 1$ ve $\displaystyle q\equiv 0$ olmak üzere aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

$\displaystyle p\Rightarrow q'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 0'$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 0$

(ise bağlacı sadece $\displaystyle 1\Rightarrow 0$ durumunda 0’a denktir. Diğer durumlarda hep 1 dir. )

$\displaystyle p'\Rightarrow q'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1'\Rightarrow 0'$

$\displaystyle \equiv 0\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

$\displaystyle (p\Rightarrow q)'\Rightarrow q'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv (1\Rightarrow 0)'\Rightarrow 0'$

$\displaystyle \equiv 0'\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

$\displaystyle (p'\Rightarrow q)\wedge q$

Çözüm

$\displaystyle \equiv (1'\Rightarrow 0)\wedge 0$

$\displaystyle \equiv (0\Rightarrow 0)\wedge 0$

$\displaystyle \equiv 1\wedge 0$

$\displaystyle \equiv 0$

$\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesi $\displaystyle p'\vee q$ önermesine denktir.

Örnek 20

$\displaystyle (p'\Rightarrow q)\vee q'$ önermesinin değerini bulunuz.

Çözüm

$\displaystyle \equiv ((p')'\vee q)\vee q'$

$\displaystyle \equiv (p\vee q)\vee q'$

$\displaystyle \equiv p\vee (q\vee q')$

$\displaystyle \equiv p\vee 1$

$\displaystyle \equiv 1$

Not:

$\displaystyle p\Rightarrow p\equiv 1$

$\displaystyle p\Rightarrow 0\equiv p'$

$\displaystyle 0\Rightarrow p\equiv 1$

$\displaystyle p\Rightarrow 1\equiv 1$

$\displaystyle 1\Rightarrow p\equiv p$

Örnek 21

Aşağıda verilen önermelerin en sade hâllerini bulunuz.

$\displaystyle (p\Rightarrow 1)\wedge p$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1\wedge p$

$\displaystyle \equiv p$

$\displaystyle (1\Rightarrow p)'\Rightarrow 0$

Çözüm

$\displaystyle \equiv (1'\vee p)'\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv (1\wedge p')\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv p'\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv p\vee 0$

$\displaystyle \equiv p$

$\displaystyle (0\Rightarrow p)'\vee (p\Rightarrow 0)$

Çözüm

$\displaystyle \equiv (0'\vee p)'\vee (p'\vee 0)$

$\displaystyle \equiv (0\wedge p')\vee (p'\vee 0)$

$\displaystyle \equiv 0\vee p'$

$\displaystyle \equiv p'$

Örnek 22

$\displaystyle (p\Rightarrow q)'\wedge r'\equiv 1$ bileşik önermesinde p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini
bulunuz.

Çözüm

“ve” bağlacının sonucu 1 olduğu için, iki önerme de 1 dir.

$\displaystyle (p\Rightarrow q)'\equiv 1$ ise $\displaystyle p\Rightarrow q\equiv 0$ dır.

“ise” bağlacı sadece $\displaystyle \text{1}\Rightarrow \text{0}$ durumunda 0’a denktir. Bu sebeple,

$\displaystyle p\equiv 1$ ve $\displaystyle q\equiv 0$ dır.

Ayrıca $\displaystyle r'\equiv 1$ olduğundan $\displaystyle r\equiv 0$ dır.

$\displaystyle p\equiv 1\text{ }\text{, }q\equiv 0\text{ }\text{, }r\equiv 0$

Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi
• $\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesinin karşıtı $\displaystyle q\Rightarrow p$ dir.
• $\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesinin tersi $\displaystyle p'\Rightarrow q'$ dir.
• $\displaystyle p\Rightarrow q$ önermesinin karşıt tersi $\displaystyle q'\Rightarrow p'$ olur.

Not:

Bir önermenin doğruluk değeri ile karşıt tersinin doğruluk değeri aynıdır.

$\displaystyle p\Rightarrow q\equiv q'\Rightarrow p'$

Örnek 23

$\displaystyle p\Rightarrow (p'\vee q)$ önermesinin karşıt tersini bulunuz.

Çözüm

$\displaystyle p\Rightarrow (p'\vee q)$ önermesinin karşt tersi

$\displaystyle (p'\vee q)'\Rightarrow p'$

$\displaystyle (p\wedge q')\Rightarrow p'$

$\displaystyle (p\wedge q')'\vee p'$

$\displaystyle (p'\vee q)\vee p'$

$\displaystyle (p'\vee p')\vee q$

$\displaystyle p'\vee q$ dir.

Not:

$\displaystyle p\Rightarrow q$ koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.

“ancak ve ancak” Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

p ve q iki önerme olmak üzere $\displaystyle p\Rightarrow q$ ile $\displaystyle \text{q}\Rightarrow \text{p}$ koşullu önermelerinin $\displaystyle \wedge$ bağlacı ile birbirine bağlanmasından oluşan $\displaystyle \text{(}p\Rightarrow q\text{)}\wedge \text{(q}\Rightarrow \text{p)}$ bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir.

İki yönlü koşullu önerme $\displaystyle p\Leftrightarrow q$ şeklinde yazılır ve “p ancak ve ancak q” olarak okunur.

$\displaystyle p\Leftrightarrow q$ iki yönlü koşullu önermesi p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.

Not:

$\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv \text{(}p\Rightarrow q\text{)}\wedge \text{(q}\Rightarrow \text{p)}$

Örnek 24

Aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

$\displaystyle 1\Leftrightarrow 1'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1\Leftrightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 0$

$\displaystyle (0\Leftrightarrow 1)'\Leftrightarrow 0'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 0'\Leftrightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1\Leftrightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

$\displaystyle (0\Leftrightarrow 0)\Leftrightarrow (1\Leftrightarrow 1')$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1\Leftrightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 0$

$\displaystyle (1\Leftrightarrow 1)'\Leftrightarrow (0\vee 1)'$

Çözüm

$\displaystyle \equiv 1'\Leftrightarrow 1'$

$\displaystyle \equiv 0\Leftrightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 1$

“ancak ve ancak” Bağlacının Özellikleri

$\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv q\Leftrightarrow p$

$\displaystyle p\Leftrightarrow p\equiv 1$

$\displaystyle p\Leftrightarrow p'\equiv 0$

$\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv p'\Leftrightarrow q'$

$\displaystyle (p\Leftrightarrow q)'\equiv p'\Leftrightarrow q\equiv p\Leftrightarrow q'$

$\displaystyle p\Leftrightarrow 0\equiv p'$

$\displaystyle p\Leftrightarrow 1\equiv p$

Örnek 25

$\displaystyle (p\Leftrightarrow p')\vee p$ önermesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm

$\displaystyle \equiv 0\vee p$

$\displaystyle \equiv p$

Örnek 26

$\displaystyle (p\Leftrightarrow p')\Leftrightarrow p$ önermesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm

$\displaystyle \equiv 0\Leftrightarrow p$

$\displaystyle \equiv p'$

Örnek 27

$\displaystyle (p\Leftrightarrow q')\wedge (p\wedge q)$ önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm

$\displaystyle \equiv \left[ {(p\Rightarrow q')\wedge (q'\Rightarrow p)} \right]\wedge (p\wedge q)$

$\displaystyle \equiv \left[ {(p'\vee q')\wedge (q\vee p)} \right]\wedge (p\wedge q)$

$\displaystyle \equiv \left[ {(p\wedge q)'\wedge (q\vee p)} \right]\wedge (p\wedge q)$

$\displaystyle \equiv (q\vee p)\wedge \underbrace{{(p\wedge q)'\wedge (p\wedge q)}}_{0}$

$\displaystyle \equiv (q\vee p)\wedge 0$

$\displaystyle \equiv 0\text{ olur}\text{.}$

Not:

$\displaystyle p\Leftrightarrow q$ önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.

Alıştırma-1
p,q ve r önermelerine göre aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz.

$\displaystyle p\equiv 1,\text{ q}\equiv \text{0}\text{, r}\equiv 1$ ise,

$\displaystyle p\Rightarrow (q\wedge r)$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow (0\wedge 1)$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 0$

$\displaystyle (p\vee q)\Rightarrow r$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv (1\vee 0)\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

$\displaystyle (p\Rightarrow q)\Rightarrow (q\Rightarrow r)$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv (1\Rightarrow 0)\Rightarrow (0\Rightarrow 1)$

$\displaystyle \equiv 0\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

$\displaystyle (q'\Rightarrow p)\Rightarrow r'$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv (0'\Rightarrow 1)\Rightarrow 1'$

$\displaystyle \equiv (1\Rightarrow 1)\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 0$

$\displaystyle \equiv 0$

Alıştırma-2
Aşağıdaki önermenin doğruluk değerlerini bulunuz.

$\displaystyle (p\wedge q')\Rightarrow r\equiv 0$ ise $\displaystyle (p\Rightarrow r)'\Rightarrow (q\vee r')$

Cevabı Gör

“ise” bağlacında sadece $\displaystyle \text{1}\Rightarrow \text{0}\equiv \text{0}$ a denktir.

$\displaystyle \underbrace{{(p\wedge q')}}_{1}\Rightarrow \underbrace{r}_{0}\equiv 0$

$\displaystyle \underbrace{p}_{1}\wedge \underbrace{{q'}}_{1}\equiv 1$ ise

$\displaystyle p\equiv 1,\text{ q}\equiv \text{0}$ dır. Ayrıca $\displaystyle r\equiv 0$ olmalı. Buna göre,

$\displaystyle \equiv (p\Rightarrow r)'\Rightarrow (q\vee r')$

$\displaystyle \equiv (1\Rightarrow 0)'\Rightarrow (0\vee 0')$

$\displaystyle \equiv 0'\Rightarrow (0\vee 1)$

$\displaystyle \equiv 1\Rightarrow 1$

$\displaystyle \equiv 1$

Alıştırma-3
Aşağıdaki önermenin en sade halini bulunuz.

$\displaystyle (p'\Rightarrow q)'\Rightarrow p'$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv (p\vee q)'\Rightarrow p'$

$\displaystyle \equiv (p\vee q)\vee p'$

$\displaystyle \equiv \underbrace{{p\vee p'}}_{1}\vee q$

$\displaystyle \equiv 1\vee p$

$\displaystyle \equiv 1$

Alıştırma-4
Aşağıdaki önermenin en sade halini bulunuz.

$\displaystyle (p\Rightarrow q)'\vee (p\Rightarrow q)$

Cevabı Gör

$\displaystyle (p\Rightarrow q)'\vee (p\Rightarrow q)\text{ }p\Rightarrow q\equiv r\text{ olsun}$

$\displaystyle \equiv \text{r }\!\!'\!\!\text{ }\vee \text{r}$

$\displaystyle \equiv 1\text{ }$ dir.

Alıştırma-5
Aşağıdaki önermenin en sade halini bulunuz.

$\displaystyle (p\Rightarrow q')'\vee (q\Rightarrow p)'$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv (p'\vee q')'\vee (q'\vee p)'$

$\displaystyle \equiv (p\wedge q)\vee (q\wedge p')\text{ }$

$\displaystyle \equiv (p\wedge q)\vee (p'\wedge q)\text{ }$

$\displaystyle \equiv (p\vee p')\wedge q$

$\displaystyle \equiv 1\wedge q$

$\displaystyle \equiv q$

Alıştırma-6
Aşağıdaki önermenin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız.

“Bayrak dalgalanırsa vatan düşmez.”

Tersi=?

Cevabı Gör

$\displaystyle p:$ “Bayrak dalgalanır.”

$\displaystyle q:$ “Vatan düşmez.”

$\displaystyle p\Rightarrow q$ nun tersi $\displaystyle p'\Rightarrow q'$ dür. O halde,

$\displaystyle p'\Rightarrow q'$ : “Bayrak dalgalanmazsa vatan düşer.”

Karşıtı=?

Cevabı Gör

$\displaystyle p\Rightarrow q$ nun karşıtı $\displaystyle \text{q}\Rightarrow \text{p}$ dir. O halde,

$\displaystyle \text{q}\Rightarrow \text{p}$ : “Vatan düşmezse bayrak dalgalanır.”

Karşıt Tersi=?

Cevabı Gör

$\displaystyle p\Rightarrow q$ nun karşıtı $\displaystyle \text{q }\!\!'\!\!\text{ }\Rightarrow \text{p }\!\!'\!\!\text{ }$ dür. O halde,

$\displaystyle \text{q }\!\!'\!\!\text{ }\Rightarrow \text{p }\!\!'\!\!\text{ }$ : “Vatan düşerse bayrak dalgalanmaz.”

Alıştırma-7
Aşağıdaki önermenin en sade halini bulunuz.

$\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\wedge (q\wedge p')$

Cevabı Gör

$\displaystyle \equiv \left[ {(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)} \right]\wedge (q\wedge \text{p }\!\!'\!\!\text{ })$

$\displaystyle \equiv \left[ {(p'\vee q)\wedge (q'\vee p)} \right]\wedge (q\wedge \text{p }\!\!'\!\!\text{ })$

$\displaystyle \equiv (p'\vee q)\wedge \underbrace{{(q'\vee p)}}_{r}\wedge \underbrace{{(q\wedge \text{p }\!\!'\!\!\text{ })}}_{{r'}}$

$\displaystyle \text{ }q'\vee p\equiv r\text{ olsun}\text{, r }\!\!'\!\!\text{ }\equiv (q'\vee p)'\equiv q\wedge p'\equiv p'\wedge q\text{ d }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r}\text{.}$

$\displaystyle \equiv (p'\vee q)\wedge \underbrace{{r\wedge r'}}_{0}$

Alıştırma-8
Tabloda verilenlere göre aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.

$\displaystyle a\Leftrightarrow 1\equiv 1$

Açıklaması

“Ancak ve ancak” bağlacında iki önerme aynı ise, sonuç 1; farklı ise sonuç 0 dır. Buna göre, tabloyu doldurabiliriz.

$\displaystyle \underbrace{a}_{0}\Leftrightarrow 1\equiv 0\Leftrightarrow 1\equiv 0$ dır.

$\displaystyle x\Leftrightarrow y\equiv 0$

Açıklaması

$\displaystyle \underbrace{x}_{0}\Leftrightarrow \underbrace{y}_{1}\equiv 0\Leftrightarrow 1\equiv 0$ dır.

$\displaystyle a\Leftrightarrow x\equiv 1$

Açıklaması

$\displaystyle \underbrace{a}_{0}\Leftrightarrow \underbrace{x}_{0}\equiv 0\Leftrightarrow 0\equiv 1$ dir.

$\displaystyle b\Rightarrow y\equiv 0$

Açıklaması

$\displaystyle \underbrace{b}_{1}\Rightarrow \underbrace{y}_{1}\equiv 1\Rightarrow 1\equiv 1$ dir.

Alıştırma-9
Aşağıdaki denklikler doğru mu, yanlış mı?

$\displaystyle p\Leftrightarrow p'\equiv 0$

Açıklaması

“ancak ve ancak” bağlacında iki önerme aynı ise sonuç 1, farklı ise sonuç 0 dır. Bu yüzden,

$\displaystyle p\Leftrightarrow p'\equiv 0$ dır.

$\displaystyle (p\Leftrightarrow q)'\equiv p'\Leftrightarrow q$

Açıklaması

$\displaystyle (p\Leftrightarrow q)'\equiv p'\Leftrightarrow q\equiv p\Leftrightarrow q'$ dür.

$\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv (p\Rightarrow q)\vee (q\Rightarrow p)$

Cevabı Gör

aradaki bağlaç “ve” bağlacı olmalıydı.

$\displaystyle p\Leftrightarrow q\equiv (p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$

$\displaystyle p\Leftrightarrow 1\equiv p$

Açıklaması

$\displaystyle p\equiv 1$ iken $\displaystyle \underbrace{p}_{1}\Leftrightarrow 1\equiv \underbrace{p}_{1}$ doğru

$\displaystyle p\equiv 0$ iken $\displaystyle \underbrace{p}_{0}\Leftrightarrow 1\equiv \underbrace{p}_{0}$ doğru

p neyse, sonuç da p’ye eşit çıkıyor.

5.sayfaya geçmek için tıklayınız.

Sayfalar: 1 2 3 4 5 6

“Mantık” üzerine 4 yorum

isimsiz

24 Ekim 2020 11:39 | Cevapla

çoq iyi
mehmet ali

8 Kasım 2020 18:36 | Cevapla

eyw abi çok iyi anladım sağol çok iyi anlatmışsın hocadan daha iyisin yeminle 😀 kolay gelsin 10. sınıftada böle bekliyom
Taylan

1 Temmuz 2021 19:56 | Cevapla

Özge bu notları çok beğendi. Ellerinize sağlık.
tu

6 Eylül 2021 23:22 | Cevapla

Hocam merhabalar yeni başlamış bir öğretmen olarak bilgilerinizden faydalanırken her seferinde Allah razı olsun diyorum işimi çok kolaylaştırıyor Teşekkür ederim böyle net anlatım ve bilgiler için .

“Mantık” üzerine 4 yorum

Yorum yapın Cancel reply