İNTEGRALDE ALAN
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
İki Eğri Arasındaki Alan
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
RIEMANN
Bir aralığın düzgün parçalanması
Örnek:
Çözüm:
Riemann Alt Toplamı
Örnek:
Çözüm:
Not:
Riemann Üst Toplamı
Örnek:
Çözüm:
Not:
Riemann Orta Toplamı
Örnek:
Çözüm:
(Konu Notları Bitti. )
1.sayfaya geçmek için Tıklayın (Belirsiz İntegral)
2.sayfaya geçmek için Tıklayın (Belirli İntegral)
| Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla |
| İntegral Konu Notlarını pdf indir |
| Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.) |
İNTEGRALDE ALAN b a [a, b] kapalı aralığında f(x), integrali alınabilen bir fonksiyon olsun. Bu aralıkta f(x) 0 ise, x a, x b ve x ekseni ile arasındaki kapalı alan f(x)dx integrali ile bulunur. Örnek: Çözüm: 3 3 2 1 1 2 2 2 Boyalı bölge 2xdx x 3 1 9 1 8 br dir. Not: b a [a, b] kapalı aralığında f(x), integrali alınabilen bir fonksiyon olsun. Bu aralıkta f(x) 0 ise, x a, x b ve x ekseni ile arasındaki kapalı alan f(x)dx integrali ile bulunur. Yani, x ekseninin altı nda integral negatif çıktığı için, alan hesabında bunu ile çarpmalıyız. Örnek: Çözüm: www.matematikkolay.net 2 2 3 2 2 2 x Boyalı bölge (x 4)dx 4x 3 8 8 8 8 3 3 8 8 8 8 3 3 2 16 16 3 32 3 32 br dir. 3 Not: b a Mutlak değeri kullanırsak, x a, x b ve x ekseni ile arasındaki kapalı alanı kısaca f(x) dx integrali ile ifade edebiliriz. Not: Alandan, integral değeri de bulunabilir. x ekseninin üstündeki integral, alan değerine x ekseninin altındaki integral ise, alan değerine eşittir. Örnek: b a Grafiğe göre f(x)dx integrali kaçtır? Çözüm: b a x ekseninin altında integral negatif çıkar f(x)dx A B C 4 6 3 7 6 1 dir. Not: b a b a y ye göre integral aldığımızda, fonksiyonun y ekseni ile arasındaki alanı buluruz. y ekseninin sağındaki alan f(y)dy y ekseninin solundaki alan f(y)dy dir. (a ve b değerleri y ekseni üzerindek i değerlerdir. a b dir.) b a Boyalı Bölge f(y)dy b a Boyalı Bölge f(y)dy Örnek: www.matematikkolay.net d a Grafiğe göre f(y)dy integrali kaçtır? Örnek: d a f(y)dy 5 10 4 10 9 1 dir. Not: b 1 a f (x)dx y ye göre integral almak ile ters fonksiyonun integralini almak aynı şeydir. (a ve b değerleri y eksenine aittir. a b dir.) b 1 a Boyalı bölge f (x)dx Örnek: Çözüm: 2 2 1 2 2 2 0 2 3 0 2 y x 1 y x 1 y 1 x f (x) x 1 dir. Boyalı bölge (x 1)dx x x 3 8 14 2 br dir. 3 3 İki Eğri Arasındaki Alan b a [a, b] kapalı aralığında f(x) g(x) ise İki fonksiyon arasındaki alan f(x) g(x) dx integrali ile bulunur. Yani, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarıp integral alacağız. (x ekseninin altında olması bu durumu değiştirmez.) Örnek: 2 2 Yukarıdaki grafikte verilen f(x) 6x ve g(x) 3x fonksiyonları arasındaki kapalı bölgenin alanı kaç br dir? www.matematikkolay.net Çözüm: 2 2 0 2 2 3 0 2 Alan 6x 3x dx 3x x 12 8 0 4 br buluruz. Not: b a f(y), g(y) nin sağında bir fonksiyon olmak üzere, bu iki fonksiyon arasındaki alan f(y) g(y) dy integrali ile bulunur. Örnek: 2 x Yukarıdaki grafikte verilen f(x) x ve g(x) 2 fonksiyonları arasındaki kapalı bölgenin alanı kaç br dir? Çözüm: 2 2 2 0 2 2 2 3 2 2 0 0 f(x) x ise y x y x tir. x x g(x) ise y 2y x tir. 2 2 Kesişim noktalarının ordinatlarını bulalım. y 2y y 2y 0 y(y 2) 0 Buna göre, y 8 Alan (2y y )dy y 4 0 3 3 2 12 8 3 4 br dir. 3 Not: Türev grafiği verildiğinde, Belirli integral ile grafikteki alan arasındaki ilişkiden yararlanarak fonksiyon hakkında bazı bilgilere ulaşabiliriz. Örnek: Yukarıdaki grafikte y f(x) fonksiyonunun türevine ait bir grafik verilmiştir. f( 1) 6 olduğuna göre, f(4) kaçtır? Çözüm: www.matematikkolay.net 4 1 mavi alan Yeşil Alan (x ekseninin altında kalıyor) 4 1 Soruda, türev grafiği verilmiştir. f'(x)dx 4 3 tür. f(x) 1 f(4) f( 1) 1 f(4) 6 1 f(4) 7 buluruz. Not: Türev Türev İntegral İntegral Hızın integrali yolu, ivmenin integrali ise hızı ver. Yol Hız İvme olduğunu biliyorduk. Yol Hız İvme şeklinde tersine işlem yapabiliriz. Örnek: Hız fonksiyonu V(t) t metre / saniye olan bir hareketlinin ilk 4 saniyede yaptığı yer değiştirme kaç metredir? (t: saniye) Çözüm: 4 4 2 0 0 t tdt 8 metredir. 2 Örnek: Yukarıda hız-zaman grafiği verilen bir aracın 4.saniyedeki konumu, başlangıç konumuna göre nerdedir? Çözüm: 4 0 Mavi Yeşil Üçgen Üçgen (geri gidiyor) Hız – zaman grafiğinde, integral bize yer değiştirmeyi verecektir. V(t)dt 2.1 3.1 2 3 1 1 metre geriye gitmiştir. Not: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y r şeklinde denklemler, merkezi orijin olan r yarıçaplı çemberlerdir. y yi yalnız bırakarak, y r x şeklinde yazabiliriz. y r x x ekseninin üstündeki yarım çemberi y r x x ekseninin 2 2 2 2 2 2 2 altındaki yarım çemberi ifade eder. Aynı şekilde, x r y olarak da yazabiliriz. x r y y ekseninin sağındaki yarım çemberi x r y y ekseninin solundaki yarım çemberi ifade eder. www.matematikkolay.net Örnek: 4 2 4 16 x dx integralinin değeri kaçtır? Çözüm: 4 2 4 2 2 4 2 4 16 x dx integrali de yukarıdaki boyalı bölgeyi ifade eder. .4 Alan 8 br dir (yarım çember). Buna göre, 2 16 x dx 8 dir. RIEMANN Bir aralığın düzgün parçalanması [a, b] aralığını n tane eş parçaya bölersek, aralıkların b a genişliği olur. n Örnek: [1, 7] aralığını 3 eş parçaya bölünce, alt aralıklar nasıl olur? Çözüm: 7 1 6 Aralıkların genişliği 2 br dir. 3 3 O halde, alt aralıklar [1, 3], [3, 5], [5, 7] şeklinde olurlar. Riemann Alt Toplamı Alt aralıklarda fonksiyonun ile oluşan dikdörtgenlerin alanları toplamına Riemann alt toplamı denir. (En küçük değer negatif ise, Riemann değeri de negatiftir.) en küçük değeri Örnek: 2 y x 4 parabolünün [1, 7] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann alt toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: Alt aralıklar [1, 3], [3, 5], [5, 7] şeklinde olurlar. f(3) f(5) f(1) Rieaman alt toplamı 2.( 3) 2. 5 2.21 6 10 42 46 d ır. Not: Riemann hesabında, ne kadar çok alt aralığa bölersek gerçek integral değerine o kadar yaklaşırız. Riemann Üst Toplamı Alt aralıklarda fonksiyonun ile oluşan dikdörtgenlerin alanları toplamına da Riemann üst toplamı denir. (En büyük değer negatif ise, Riemann değeri de negatiftir.) en büyük değeri Örnek: 2 y x 4 parabolünün [1, 7] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı kaçtır? www.matematikkolay.net ÇÖZÜM: Alt aralıklar [1, 3], [3, 5], [5, 7] şeklinde olurlar. f(3) f(7) f(5) Rieaman üst toplamı 2. 5 2.21 2.45 10 42 90 142 dir. Not: Her zaman Alt toplam İntegral Üst Toplam dır. Alt aralıkların sayısı ne kadar fazla ise, gerçek integral değerine o kadar yaklaşılır. Riemann Orta Toplamı Alt aralıkların orta noktaları ile oluşturulan dikdört – genlerin alanları toplamına da Riemann orta toplamı denir. (Orta değer negatif ise, Riemann değeri de negatif olur.) Örnek: 2 y x 4 parabolünün [1, 7] aralığında 3 eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann orta toplamı kaçtır? Çözüm: Ortası 2 Ortası 4 Ortası 6 f(2) 0 f(4) 12 f(6) 32 [1, 3], [3, 5], [5, 7] Riemann orta toplamı 2.0 2.12 2.32 0 24 64 88 dir.
