Oran Orantı Eşitlikleri

2 2 a,b R olmak üzere a ab ab b 9 ise a b kaçtır? 7 3 A) 90 B) 60 C) 30 D) 15 E) 12        2 2 Çözüm: a ab ab b 9 7 3 a(a b)      b (a b) 7   2 2 2 2 2 2 2 3 a b a 7k ise b 3k dır. 7 3 ab b 7k.3k (3k) 21k 9k 9 9 9 3 3 3 12k 9 3 9 4k 9 k k 3 4 2 3 a b 7k 3k 10k 10 15 bulunur. 2                            2 2a b 4 ve a b 12 ise a,b? a b 3      www.matematikkolay.net Çözüm: 2a b a b    4 (içler dışlar çarpımı yapalım) 3 6a 3b 4a 4b 6a 4a 4b 3b 2a b b yerine 2a diyebiliriz. a b 12 ise a 2a 12 3a 12 a 4 bulunur. b 2a 2.4 8 bulunur.                      3 ax by cz 6 xy xz yz 2xyz olduğuna göre, a b c toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 6 D) 12 E) 15         (c) (b) (a) Çözüm: ax by cz 6 ise; 6 6 6 x , y , z diyebiliriz. a b c xy xz yz 2xyz eşitliğine bu değerleri yazalım. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 a b a c b c a b c 36 36 36 216 2 ab ac bc abc 36a 36b 36c 216 2 abc abc 36                           (a b c) abc   216  2 6 abc a b c 2.6 12 buluruz. Doğru Cevap : D şıkkı     5 a b c d 2 ise c a a d 3 c b c a kaçtır? a c a d 1 2 2 1 1 A) B) C) D) E) 9 3 3 3 9               www.matematikkolay.net a d Çözüm: a b 2 3a 3b 2c 2a c a 3 a 2c 3b c d 2 3c 3d 2a 2d a d 3 d 2a 3c c b c a c b c a a c a d 2c 3b c a 2a 3c c b c a 3c 3b 3a 3c 1 3                                        1 1 buluruz. 3 9          8 a c 3 b 2 b 3 c 4 a olduğuna göre, oranı kaçtır? b 1 2 1 1 5 A) B) C) D) E) 3 3 4 6 6    www.matematikkolay.net Çözüm: b 3 ise; b 3k dersek; c 4k diyebiliriz. c 4 Buna göre; a’nın kaç k olduğunu bulalım. a c 3 a 4k 3 b 2 3k 2 2a 8k 9k 2a k k a dir. 2 k a 2 k 1 1 Buna göre ; buluruz. b 3k 2 3k 6                 9 9 a.c 12.c b eşitlikleri veriliyor. 9 b.c 18.b a c a Buna göre kaçtır? a c 1 2 2 3 7 A) B) C) D) E) 5 3 5 2 5            www.matematikkolay.net Çözüm: 9 9 a c 12c a c 12c 9 a b c 12b c b b 9 9 b c 18b b c 18b 9 a b c 18a b a a Bu iki denklemden; a b c                             12bc  abc 18a b yazabiliriz. 12     2 b c  18 3 a b 3k 2k 2 c 3a c a 3k 2k k a c 3k 2k         5k 1 buluruz. 5  16 3 3 3 3 3 3 a c e 4 olduğuna göre, b d f a c e ifadesinin sonucu kaçtır? b d f A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16        n n n n n n n 3 3 3 3 3 3 3 Çözüm: a c e 4 b d f a c e a c e Not : k ise k olur.Buna göre; b d f b d f a c e 4 64 8 buluruz. b d f                   21 www.matematikkolay.net a c 3 b d b d 10 a c d 31 Yukarıdaki denklem sistemini sağlayan c değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 11        3b 3d 10 Çözüm: a c 3 b d a 3b, c 3d b d 10 a c d 31 3(b d) d 31 30 d 31 d 1 dir. c 3d c 3.1 3 buluruz.                        22 www.matematikkolay.net a c e 2 b d f 2a 3c e 12 2b 3d 7 olduğuna göre, e kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5         7 Çözüm: a c e 2 b d f a 2b, c 2d, e 2f dir. 2a 3c e 12 2.(2b) 3.(2d) 2f 12(her tarafı 2′ ye bölelim) 2b 3d f 6 dır. 2b 3d 7 olduğuna göre; 2b 3d f 6 7 f 6 f 1 dir. e 2f e 2.1 2 buluruz.                                 24 4 a 3 b 5 b 6 a olduğuna göre, 2a b farkı kaçtır?      www.matematikkolay.net (b) (a) Çözüm: 4 a 4 ab 4 a 3 3 3 b 1 b b b ab 4 3 ab 4 3b ab 3b 4 b 5 b 5 ab 5 b 6 6 6 a 1 a a a ab 5 6 ab 5 6a ab 6a 5 a Bulduğumuz iki denklemdeki ab nin eşitini birbirine eşitleyelim; 3b 4 6a 5 6a 3b 4 5 6a 3b 9 3.                                              (2a b) 9 9 2a b 3 buluruz. 3       25 2 2 2 3 2a ab 4 2b 4b 1 3b 2a olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ab A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6      www.matematikkolay.net 2 Çözüm: 3 3 3 2a ab a(2 b) (2 b) (I.eşitlik) 4 4 4a 1 2b 4b 1 2b(b 2) 1 (b 2) (II.eşitlik) 2b İki eşitlikteki (2 b)’nin eşitini birbirine eşitleyelim. 3 1 6b 4a 6 4a 2b                      3 b  4 2 2 2 2 2 2 2 b 2 a tür. a 3 3b 2a Şimdi ifadesine bakalım. ab 3b 2a 3b 2a ab ab ab 3b 2a a b b a 3 2 a b 2 3 3 2 2 3 5 buluruz. 3 2                    27 x y z z x y 3 x y 2x y 14 ise x y kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) -2           www.matematikkolay.net Çözüm: x y z z x y 3 x y Pay ve paydalar taraf tarafa çıkarıldığında (veya toplandığında) oran değişmez. Biz burada z’yi yok etmek için çıkarma işlemini uygulayacağız. x y z (z x y) x x 3 3 x y x y 2x x                    3 2x 3x 3y 3y x y 2x y 14 ise 2.3y y 14 7y 14 y 2 x 3y 3.2 6 x y 6 2 4 buluruz.                        28 a, b, c negatif tam sayılar olmak üzere; a.b b.c a.c 3 4 5 olduğuna göre, a b c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 48 B) 47 C) 36 D) 24 E) 12          Çözüm: Orantıyı iki parça halinde inceleyelim. a.b b 3  .c a 3 4 c 4 b. c   a. c 4  (5) (3) Bu iki kesirdeki a’ları aynı a 5 yapacak şekilde genişletelim 5 b 4 a 3 15 a 5 15 ve olunca a,b ve c’ yi c 4 20 b 4 12 aynı terim cinsinden ifade edebiliriz. a 15k , c 20k ve b 12k                dır. Bunlar negatif olduğundan k ‘ yı 1 seçelim. a b c 15k 12k 20k 47k 47 buluruz.          30 www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 a x m n x y a y m n x y olduğuna göre, a nın m ve n türünden değeri aşağıda kilerden hangisidir? m n m n m n A) B) C) m n m n mn m n m n D) E) 2m 2n               Çözüm: İki eşitliği, taraf tarafa çıkaralım. a a x y m n m n x y x y a a x y m n m n             x  y (m n) (m n) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 1 m n m n 1 1 1 1 a 1 a 1 m n m n m n m n m n m n m n (m n) a 1 a 1 m n m n m n m n m n) 2n a 1 a 1 m n m n                                                                         2 2 m n a buluruz. 2n    www.matematikkolay.net 31 2a c 3e 3 3b 2d 2f 4 4a 2c 3e 3 3b f d olduğuna göre, d kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 2 E) 3            Bu kesri 2 ile 2 ile genişgenişletelim letelim Çözüm: 2a c 3e 3 3b 2d 2f 4 4a 2c 3e 3 Pay ve paydaları kendi arala – 6b 4d 2f 4 rında toplayınca or          3 d an değişmez. 4a 2c 3e 3 6b 4d 2f 4 4a 2c 3e 3 (4a 2c 3e 3 soruda verilmiş) 6b 4d 2f 4 6b 4d 2f 4 olmalı 6b 2f 4d 4 2(3b f) 4d 4 (3b f d soruda verilmiş) 2d 4d 4 2d 4 d 2 buluruz.                               www.matematikkolay.net 32 a, b ve c birer reel sayı olmak üzere, ab bc ac 5 abc olduğuna göre, 20b 5 6c 3 4a 1 5b 3c a ifadesinin değeri kaçtır? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 14           www.matematikkolay.net Çözüm: ab bc ac ab bc ac 5 5 abc abc abc abc 1 1 1 5 tir. c a b 20b 5 bc 3 4a 1 5b 3c a 20b 5 6c 3 4a 1 5b 5b 3c 3c a a 4                        1 1 2 4 b c     1 a 1 1 1 2 2 5 7 bulunur. c a b                 57 www.matematikkolay.net 2 2 2 a, b, c pozitif reel sayılar olmak üzere, a.b 12 c b.c 8 a a.c 10 b olduğuna göre, a b c nin değeri kaçtır? A) 310 B) 296 C) 196 D) 146 E) 136      a.b 12 c b.c 8 a a.c 10 b Bize verilen oranları çarpalım. Çözüm: a    b c b  c a ac b  2 12.8.10 a.b.c 12.8.10 dır. a.b 12 a.b 12c a.b.c 12c c 12          .8.10  12 2 2 2 c c 8.10 80 dir. b.c 8 b.c 8a a.b.c 8a a 12.Ağu          .10  8 2 2 2 a a 12.10 120 dir. a.c 10 a.c 10b a.b.c 10b b 12.08.2010           10 2 2 2 2 2 b b 12.8 96 dır. a b c 120 96 80 136 bulunur.          www.matematikkolay.net 60 1 1 a 3 ve b 5 b a a b olduğuna göre, oranı kaçtır? a b 5 2 5 1 A) B) C) D) E) 4 8 3 3 4          Çözüm: 1 ab 1 a 3 3 ab 1 3b dir. b b 1 ab 1 b 5 5 ab 1 5a dır. a a Bu ikisini birbirine eşitleyelim. 3b 5a dır. a 3k dersek, b 5k olur. Buna göre; a b 3k 5k 8k 4 bul a b 3k 5k 2k                              uruz. www.matematikkolay.net 81 3 3 2 2 a ile b birbirinden farklı reel sayılardır. a b b a ab 5 a 2 b 2 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9         www.matematikkolay.net 3 3 3 3 Çözüm: a b b a ab 5 a 2 b 2 a c a c NOT : k k dır. b d b d a b b a a 2                   b 2 3 3 2 2 ab 5 a b (a b) ab 5 a b (a b)(a ab b ) (a b) ab 5 a b (a b)                  2 2 (a ab b 1) a b     2 ab 5 a ab    2 b 1  ab 2 2 5 a b 6 bulunur.    84 2x 1 y 2 z 3 ve 2x y z 60 3 4 2 ise, (y z) değeri kaçtır? A) 109 B) 108 C) 103 D) 54 E) 53          www.matematikkolay.net 60 Çözüm: 2x 1 y 2 z 3 ise; 3 4 2 2x 1 y 2 z 3 k şeklinde de yazabiliriz. 3 4 2 Payları kendi oranında, paydaları kendi arasında toplarsak; k oranı değişmez. 2x 1 y 2 z 3 k 3 4 2 2x y z 6 k 1 60 6 k 1                             k 54 tür. y 2 54 y 2 216 y 214 tür. 4 z 3 54 z 3 108 z 111 dir. O halde; 2 y z 214 111 103 buluruz.                    97 x y 1 x z 1 y z 1 ; ; ; x ? x.y 3 x.z 4 y.z 2        Çözüm: x y 1 x y 1 1 1 1 x.y 3 xy xy 3 y x 3 x z 1 x z 1 1 1 1 x.z 4 xz xz 4 z x 4 y z 1 y z 1 1 1 1 y.z 2 yz yz 2 z y 2 1 1 1 2 x y z                              (4) (3) (6) 01.Şub -12 1 1 1 3 4 2 1 1 1 4 3 6 2 x y z 12 12 12 1 1 1 13 2 x y z 12 1 1 1 13 tür. x y z 24 1 1 13 x 2 24 1 13 1 1 13 12 1 1 x 24 2 x 24 24 x 24                                          x  24 buluruz. www.matematikkolay.net 100 A, B, C, D maddelerinden sırasıyla x, y, z, t miktar alınarak 1046 gramlık bir karışım elde edilmek isteniyor. x, y, z ve t arasında x3z8x4 , ve bağıntılarıy5t11t3bulunduğuna göre x maddesi kaç gramdır?A) 144 B) 160C) 198D) 216E) 264 www.matematikkolay.net Çözüm: x 3 z 8 x 4 , ve y 5 t 11 t 3 Önce x leri eşitleyelim. x 3.4 12 y 5.4 20 x 4.3 12 t 3.3 9 Şimdi t’leri eşitleyelim. z 8.9 72 t 11.9 99 x 12.11 132 t 9.11 99 x’lerin tekrar eşitlenmesi lazım. x 12.11 132 y 20.11 220 Şimdi x               132k y 220k z 72k t 99k alalım. 132k 220k 72k 99k 1046 523k 1046 k 2 dir. x 132k 132.2 264 bulunur.             www.matematikkolay.net 106 2 2 2 a, b, c R olmak üzere, a.b b.c a.c 2 , 3 , 4 c a b olduğuna göre, a b c toplamı kaçtır? A) 26 B) 33 C) 52 D) 68 E) 79        www.matematikkolay.net Çözüm: a.b 2 c b.c 3 a a.c 4 b Hepsini taraf tarafa çarpalım, a.b.b    . c . a.c c.a.b 2 2 2 2 2 2 02.03.2004 abc 24 tür. a.b 2 ab 2c , c abc 24 2c.c 24 c 12 dir. b.c 3 bc 3a, a abc 24 a.3a 24 a 8 dir. a.c 4 ac 4b, b abc 24 4b.b 24 b 6 dır. a b c 6 8 12 26 bulur                                 uz. www.matematikkolay.net 108 2 2 18 2a olmak üzere, 3b a(3b ab ) işleminin sonucu kaça eşittir? b(2a a b) A) 6 B) 2 C) 0 D) 3 E) 12      2 2 2 2 2 2 Çözüm: 18 2a 6ab 18 ab 3 tür. 3b Buna göre; a(3b ab ) 3ab a b b(2a a b) 2ab a b ab            (3 ab) ab  3 3 6 6 buluruz. (2 ab) 2 3 1         109 x, y ve z pozitif tam sayılardır. x y 6 3 4 z olduğuna göre, x y z toplamı en çok kaçtır? A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43     Çözüm: x y 6 k olsun. 3 4 z 6 x 3k,y 4k,z olur. k Toplamın en büyük olması için k ‘ yı olabildiğince büyük seçmeliyiz. k en fazla 6 olur. x 3k 3.6 18 y 4k 4.6 24 6 6 z 1 k 6 x y z 18 24 1 43 bulunur.          