Köklü Sayılar Soru ve Çözümleri 2 (Latex Formatı) | Matematik

Köklü Sayılar Soru ve Çözümleri 2 (Latex Formatı)

koklu_sayilar_gorseliBu bölümde Köklü Sayılar (2.Bölüm) konusu ile ilgili 19 adet soru ve çözümleri bulunmaktadır. Sorular Latex formatında hazırlanarak görünüm iyileştirilmiştir. İyi Çalışmalar…

Konu Anlatımı için Tıkla
Köklü Sayılar Test 2 Çözümlü Soruları pdf indir
Kitap Formatında Görmek için Tıkla

 KÖKLÜ SAYILAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2


SORU:1)

\displaystyle \text{      }\frac{4}{{\sqrt{2}}}+\frac{{10}}{{\sqrt{5}}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ 2}\sqrt{2}+2\sqrt{5}\text{  }} & {B)\text{ }2\sqrt{2}+\sqrt{5}} & {C)\text{ }\sqrt{2}+2\sqrt{5}} \end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}} {\text{               }D)\text{ 2}\sqrt{2}+5\sqrt{5}} & {E)\text{ }2\sqrt{2}+10\sqrt{5}} \end{array}\end{array}

ÇÖZÜM:

Toplama işlemini yapabilmek için ilk önce kesirlerin paydasını rasyonel yapalım. Bunun için köklü sayıları, kökten çıkaracak şekilde kendileri ile çarparak genişletelim;

\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{(\sqrt{2})}}{\mathop{{\frac{4}{{\sqrt{2}}}}}}\,+\underset{{(\sqrt{5})}}{\mathop{{\frac{{10}}{{\sqrt{5}}}}}}\,=\frac{{4\sqrt{2}}}{2}+\frac{{10\sqrt{5}}}{5}\\\text{                }=2\sqrt{2}+2\sqrt{5}\text{   olarak buluruz}\text{. }\end{array}

Doğru Cevap : A şıkkı


SORU:2)

\displaystyle \text{      }\frac{3}{{2-\sqrt{3}}}+\frac{4}{{3-\sqrt{3}}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ 3}+2\sqrt{3}\text{    }} & {B)\text{ }5+\sqrt{3}} & {C)\text{ }8+\frac{{11}}{3}\sqrt{3}} \end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}} {\text{             }D)\text{ }3+\frac{8}{3}\sqrt{3}} & {E)\text{ }2+\frac{7}{3}\sqrt{3}} \end{array}\end{array}

ÇÖZÜM:

Paydaların rasyonel hale getirilmesi gerekiyor. Bunun için paydadaki köklü sayılar eşlenikleri ile genişletilmelidir

\displaystyle \begin{array}{l}2-\sqrt{3}\text{    }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ n esleni }\!\!\breve{\mathrm{g}}\!\!\text{ i  }2+\sqrt{3}\text{  t }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r}\text{.}\\\text{(}2-\sqrt{3}\text{)(}2+\sqrt{3})={{2}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}=4-3=1\text{  dir}\text{.}\\3+\sqrt{3}\text{    }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ n esleni }\!\!\breve{\mathrm{g}}\!\!\text{ i  3}-\sqrt{3}\text{  t }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r}\text{.}\\\text{(3}+\sqrt{3}\text{)(3}-\sqrt{3})={{3}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}=9-3=6\text{  d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}\\Buna\text{ g }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ re;}\end{array}

\displaystyle \underset{{\text{(}2+\sqrt{3})}}{\mathop{{\frac{3}{{2-\sqrt{3}}}}}}\,+\underset{{\text{(3+}\sqrt{3})}}{\mathop{{\frac{4}{{3-\sqrt{3}}}}}}\,=\frac{{3.\text{(}2+\sqrt{3})}}{1}+\frac{{4.\text{(3+}\sqrt{3})}}{6}

\displaystyle =\frac{{6+3\sqrt{3}}}{1}+\frac{{12+4\sqrt{3}}}{6}

\displaystyle =\underset{{(6)}}{\mathop{{\frac{{6+3\sqrt{3}}}{1}}}}\,+\underset{{(1)}}{\mathop{{\frac{{12+4\sqrt{3}}}{6}}}}\,

\displaystyle =\frac{{36+18\sqrt{3}+12+4\sqrt{3}}}{6}

\displaystyle =\frac{{48+22\sqrt{3}}}{6}

\displaystyle =\frac{{48}}{6}+\frac{{22\sqrt{3}}}{6}

\displaystyle =\frac{{48}}{6}+\frac{{22\sqrt{3}}}{6}

\displaystyle =8+\frac{{11}}{3}\sqrt{3}\text{ olarak buluruz}\text{.}

Doğru Cevap : C şıkkı

 


SORU:3)

\displaystyle \frac{1}{{4-2\sqrt{3}}}\text{+}\frac{1}{{4+2\sqrt{3}}}

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:

Kesirleri, köklü ifadelerin eşlenikleri ile genişleterek çözüme başlayalım;

\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{(4+2\sqrt{3})}}{\mathop{{\frac{1}{{4-2\sqrt{3}}}}}}\,\text{+}\underset{{(4-2\sqrt{3})}}{\mathop{{\frac{1}{{4+2\sqrt{3}}}}}}\,=\frac{{4+2\sqrt{3}}}{{{{4}^{2}}-{{{(2\sqrt{3})}}^{2}}}}\text{+}\frac{{4-2\sqrt{3}}}{{{{4}^{2}}-{{{(2\sqrt{3})}}^{2}}}}\\\text{                               }=\frac{{4+2\sqrt{3}}}{{16-4.3}}\text{+}\frac{{4-2\sqrt{3}}}{{16-4.3}}\\\text{                               }=\frac{{4+2\sqrt{3}}}{{16-12}}\text{+}\frac{{4-2\sqrt{3}}}{{16-12}}\\\text{                               }=\frac{{4+2\sqrt{3}}}{4}\text{+}\frac{{4-2\sqrt{3}}}{4}\\\text{                               }=\frac{{4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}}}{4}\\\text{                               }=\frac{8}{4}=2\text{  olarak buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap: B şıkkı


SORU:4)

\displaystyle \frac{1}{{\sqrt[4]{{32}}-2}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }(\sqrt[4]{2}-1).(\sqrt{2}-1)\text{        }} & {B)\text{ }(\sqrt[4]{2}-1).(\sqrt{2}+1)} \\ {C)\text{ }(\sqrt[4]{2}+1).(\sqrt{2}+1)} & {D)\text{ }\frac{{(\sqrt[4]{2}+1).(\sqrt{2}-1)}}{8}} \end{array}\\\text{                               E) }\frac{{(\sqrt[4]{2}+1).(\sqrt{2}-1)}}{2}\end{array}

ÇÖZÜM:

Kesrin paydasını eşleniği ile genişleterek çözüme başlayalım,

\displaystyle \underset{{(\sqrt[4]{{32}}+2)}}{\mathop{{\frac{1}{{\sqrt[4]{{32}}-2}}}}}\,=\frac{{(\sqrt[4]{{32}}+2)}}{{{{{\left( {\sqrt[4]{{32}}} \right)}}^{2}}-{{2}^{2}}}}=\frac{{\sqrt[4]{{32}}+2}}{{\sqrt{{32}}-4}}\text{ }

Kesri tekrar paydanın eşleniği ile genişletelim,

\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{(\sqrt[4]{{{{2}^{4}}.2}}+2)(\sqrt{{{{4}^{2}}.2}}-4)}}{{16}}\text{  }\\\text{              }=\frac{{(2.\sqrt[4]{2}+2)(4.\sqrt{2}-4)}}{{16}}\text{    (Ortak parantez)}\\\text{             }=\frac{{2.(\sqrt[4]{2}+1).4(\sqrt{2}-1)}}{{16}}\\\text{             }=\frac{{8.(\sqrt[4]{2}+1).(\sqrt{2}-1)}}{{16}}\\\text{            }=\frac{{(\sqrt[4]{2}+1).(\sqrt{2}-1)}}{2}\end{array}

Köklü ifadelerin içerisinden değerleri dışarıya çıkarmaya çalışalım,

Doğru Cevap : E şıkkı


SORU:5)

\displaystyle \frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{12}}-\sqrt{8}+2}}{{\sqrt{3}-1}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }\sqrt{2}-2\text{    }} & {B)\text{ }\sqrt{3}-2} & {C)\text{ 2}\sqrt{3}-1} \end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}} {\text{             }D)\text{ }2\sqrt{2}-2} & {E)\text{ }3\sqrt{2}-2} \end{array}\end{array}

ÇÖZÜM:

\displaystyle \frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{12}}-\sqrt{8}+2}}{{\sqrt{3}-1}}

ifadesinin payında yer alan köklü ifadeleri iki iki ortak paranteze alalım,

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{\sqrt{{12}}.(\sqrt{2}-1)-\sqrt{{{{2}^{2}}.2}}+2}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\sqrt{{12}}.(\sqrt{2}-1)-2.\sqrt{2}+2}}{{\sqrt{3}-1}}\\=\frac{{\sqrt{{12}}.(\sqrt{2}-1)-2(\sqrt{2}-1)}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\left( {\sqrt{2}-1} \right).\left( {\sqrt{{12}}-2} \right)}}{{\sqrt{3}-1}}\\=\frac{{\left( {\sqrt{2}-1} \right).\left( {\sqrt{{{{2}^{2}}.3}}-2} \right)}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\left( {\sqrt{2}-1} \right).\left( {2\sqrt{3}-2} \right)}}{{\sqrt{3}-1}}\\=\frac{{\left( {\sqrt{2}-1} \right).2.\left( {\sqrt{3}-1} \right)}}{{\sqrt{3}-1}}=2.\left( {\sqrt{2}-1} \right)\\=2\sqrt{2}-2\text{   }olarak\text{ buluruz}\end{array}

 

Doğru Cevap : D şıkkı


SORU:6)

\displaystyle \sqrt{{\sqrt{{17}}-3}}\cdot \sqrt{{\sqrt{{17}}+3}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{  }\sqrt{{17}}} & {B)\text{  }2\sqrt{3}} & {C)\text{ }\sqrt{{14}}} & {D)\text{ 2}\sqrt{5}} & {E)\text{ }2\sqrt{2}} \end{array}

ÇÖZÜM:

Köklü ifadelerin dereceleri aynı olduğundan çarpma işlemini kök içerisinde yapabiliriz.

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{\sqrt{{17}}-3}}\cdot \sqrt{{\sqrt{{17}}+3}}=\sqrt{{\left( {\sqrt{{17}}-3} \right)\cdot \left( {\sqrt{{17}}+3} \right)}}\\\text{                                    }=\sqrt{{{{{\left( {\sqrt{{17}}} \right)}}^{2}}-{{3}^{2}}}}\\\text{                                    }=\sqrt{{17-9}}\\\text{                                    }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{  buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap : E şıkkı


SORU:7)

\displaystyle {{\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)}^{{22}}}\cdot {{\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)}^{{23}}}

ifadesinin eşiti aşagıdakilerden hangisidir?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }{{2}^{{21}}}.\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\text{        }} & {B)\text{ }{{2}^{{22}}}.\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)} \\ {C)\text{ }{{2}^{{23}}}.\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)} & {D)\text{ }{{2}^{{22}}}.\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)} \end{array}\\\text{                               E) }{{2}^{{23}}}.\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)\end{array}

ÇÖZÜM:

Üssü 23 olan parantezden bir çarpan ayırarak diğer parantezle üssün aynı olmasını sağlayalım,

\displaystyle \begin{array}{l}={{\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)}^{{22}}}\cdot {{\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)}^{{2\text{ }3}}}\\={{\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)}^{{22}}}\cdot {{\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)}^{{22}}}\cdot \left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\end{array}

Üsleri aynı olan parantezlerin içini kendi aralarında çarpabiliriz.Buna göre;

\displaystyle \begin{array}{l}={{\underbrace{{\left( {\left( {\sqrt{{15}}+\sqrt{{13}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)} \right)}}_{{\dot{I}ki\text{ kare fark }\!\!\imath\!\!\text{ }}}}^{{22}}}\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\\={{\left( {{{{\left( {\sqrt{{15}}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\sqrt{{13}}} \right)}}^{2}}} \right)}^{{22}}}\cdot \left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\\={{\left( {15-13} \right)}^{{22}}}\cdot \left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\\={{2}^{{22}}}.\left( {\sqrt{{15}}-\sqrt{{13}}} \right)\text{   olarak buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap: B şıkkı


SORU:8)

\displaystyle \sqrt{{7-\sqrt{{48}}}}+\sqrt{3}\text{   }

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

 

ÇÖZÜM:

\displaystyle Not:\text{ }\sqrt{{a\pm 2\sqrt{b}}}=\sqrt{x}\pm \sqrt{y}\text{     }(a=x+y\text{ },\text{ }b=x.y)

Bu eşitliği kullanabilmek için \displaystyle \sqrt{{48}}\text{ }i\text{  }2\sqrt{b} şeklinde yazalım,

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{48}}\text{ }=\sqrt{{4.12}}=2\sqrt{{12}}\text{ dir}\text{. Buna g }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ re;}\\\sqrt{{7-\sqrt{{48}}}}+\sqrt{3}=\sqrt{{7-2\sqrt{{12}}}}+\sqrt{3}\\\text{                                           }{{4}^{\swarrow }}{}^{\searrow }3\\\text{                           }=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}\\\text{                           }=\sqrt{4}=2\text{ buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap : B şıkkı


SORU:9)

\displaystyle \sqrt{{5+\sqrt{{24}}}}\text{+}\sqrt{{11-2\sqrt{{24}}}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ 3}\sqrt{2}} & {B)\text{ 3}\sqrt{3}} & {C)\text{ 2}\sqrt{8}} & {D)\text{ }\sqrt{{24}}} & {E)\text{ 2}\sqrt{2}} \end{array}

ÇÖZÜM:

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{5+\sqrt{{24}}}}\text{ }ifade\sin deki\text{ }\sqrt{{24}}\text{ }\ddot{u}\text{ }2\sqrt{6}\text{ s}eklinde\text{ }yazarak\\sorunun\text{ }c\ddot{o}z\ddot{u}m\ddot{u}nde\text{ }\sqrt{{x\pm 2\sqrt{y}}}\text{  }bici\min i\text{ }kullanal\imath m.\\Buna\text{ }g\ddot{o}re;\\\sqrt{{5+\sqrt{{24}}}}+\sqrt{{11-2\sqrt{{24}}}}=\underset{{\text{   }\overset{\downarrow }{\mathop{{2+3}}}\,\text{            }\overset{\downarrow }{\mathop{{2.3}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{5+2\sqrt{6}}}}}}\,+\underset{{\text{   }\overset{\downarrow }{\mathop{{8+3}}}\,\text{               }\overset{\downarrow }{\mathop{{8.3}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{11-2\sqrt{{24}}}}}}}\,\\\text{                                           }=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{8}-\sqrt{3}\\\text{                                           }=\sqrt{2}+\sqrt{8}\\\text{                                           }=\sqrt{2}+\sqrt{{4.2}}\\\text{                                           }=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\\text{                                           }=3\sqrt{2}\text{   }olarak\text{ }bulunur.\end{array}

Doğru Cevap: A şıkkı


SORU:10)

\displaystyle \sqrt{{6+\sqrt{{11}}}}+\sqrt{{6-\sqrt{{11}}}}

işleminin sonucu kaçtır?

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ 6}\sqrt{{11}}} & {B)\text{ }\sqrt{{11}}} & {C)\text{ 2}\sqrt{{11}}} & {D)\text{ 12}} & {E)\text{ }\sqrt{{22}}} \end{array}

ÇÖZÜM:

Sorunun çözümünde \displaystyle \sqrt{{x\pm 2\sqrt{y}}}  biçiminden yararlanmak için verilen ifadeyi \displaystyle \sqrt{2} ile çarpıp
\displaystyle \sqrt{2} ye bölelim,

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{6+\sqrt{{11}}}}+\sqrt{{6-\sqrt{{11}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}\left( {\sqrt{{6+\sqrt{{11}}}}+\sqrt{{6-\sqrt{{11}}}}} \right)\\\text{                                      }=\frac{{\sqrt{2}\cdot \left( {\sqrt{{6+\sqrt{{11}}}}+\sqrt{{6-\sqrt{{11}}}}} \right)}}{{\sqrt{2}}}\\\text{                                     }=\frac{{\sqrt{{12+2\sqrt{{11}}}}+\sqrt{{12-2\sqrt{{11}}}}}}{{\sqrt{2}}}\\\text{                                     }=\frac{{\underset{{\text{   }\overset{\downarrow }{\mathop{{11+1}}}\,\text{              }\overset{\downarrow }{\mathop{{11.1}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{12+2\sqrt{{11}}}}}}}\,+\underset{{\text{  }\overset{\downarrow }{\mathop{{11+1}}}\,\text{                 }\overset{\downarrow }{\mathop{{11.1}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{12-2\sqrt{{11}}}}}}}\,}}{{\sqrt{2}}}\\\text{                                     }=\frac{{\sqrt{{11}}+\sqrt{1}+\sqrt{{11}}-\sqrt{1}}}{{\sqrt{2}}}\\\text{                                     }=\underset{{\left( {\sqrt{2}} \right)}}{\mathop{{\frac{{2\sqrt{{11}}}}{{\sqrt{2}}}}}}\,=\frac{{2\sqrt{2}.\sqrt{{11}}}}{2}\\\text{                                     }=\sqrt{2}.\sqrt{{11}}=\sqrt{{22}}\text{ buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap : E şıkkı


SORU:11)

\displaystyle \sqrt[4]{{3\sqrt[3]{{9\sqrt{{27}}}}}}

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }\sqrt[{1\ 2}]{{27}}\text{         }} & {B)\text{ }\sqrt[{2\ 1}]{{{{9}^{6}}}}} & {C)\text{ }\sqrt[{2\ 4}]{{{{3}^{{12}}}}}} \end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}} {\text{                }D)\text{ }\sqrt[{2\ 4}]{{{{3}^{{13}}}}}} & {E)\text{ }\sqrt[{1\ 2}]{{{{3}^{{13}}}}}} \end{array}\end{array}

ÇÖZÜM:

Köklü ifadede içerisindeki tüm değerleri en içteki kökün içerisine aktarmaya çalışalım.

 

\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{\downarrow {{3}^{3}}\nearrow \text{ }}}{\mathop{{\sqrt[4]{{3\sqrt[3]{{9\sqrt{{27}}}}}}}}}\,=\underset{{\text{ }\overset{\downarrow }{\mathop{{{{3}^{{3\ +\ 2}}}}}}\,\text{ }}}{\mathop{{\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{{3}^{3}}9\sqrt{{27}}}}}}}}}\,=\underset{{\text{ }\downarrow \ 3{{\ }^{{10}}}\nearrow \text{ }}}{\mathop{{\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{{3}^{5}}\sqrt{{27}}}}}}}}}\,\\\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{\sqrt{{{{3}^{{10}}}27}}}}}}=\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{\sqrt{{{{3}^{{10}}}{{3}^{3}}}}}}}}=\underset{\begin{smallmatrix}  K\ddot{o}k\text{ derecelerini} \\  \text{carpal }\!\!\imath\!\!\text{ m}\text{.}  \end{smallmatrix}}{\mathop{{\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{\sqrt{{{{3}^{{1\ 3}}}}}}}}}}}}\,\\\text{ }=\sqrt[{4.3.2}]{{{{3}^{{1\ 3}}}}}=\sqrt[{2\ 4}]{{{{3}^{{1\ 3}}}}}\text{ buluruz}\end{array}

Doğru Cevap : D şıkkı


SORU:12)

\displaystyle \sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36...}}}}}}

işleminin sonucu kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E) 36

ÇÖZÜM:

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36...}}}}}}\text{  }ifade\sin in\text{ }sonucuna\text{ }x\text{ }diye\lim ;\\\underset{{\overset{{\text{            }\Downarrow }}{\mathop{{\text{            }buraya\text{ }da\text{ }x\text{ }diyebiliriz}}}\,}}{\mathop{{\sqrt[3]{{36.\underline{{\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36...}}}}}}}}}}}\,=x\text{    }Buna\text{ }g\ddot{o}re\text{ }denklemi\text{ c}\ddot{o}ze\lim ,\\\text{     }\sqrt[3]{{36.x}}=x\\{{\left( {\sqrt[3]{{36.x}}} \right)}^{3}}={{x}^{3}}\\\text{         }36x={{x}^{3}}\\\text{         }36={{x}^{2}}\\\text{         }x=6\text{  }bulunur.\end{array}

(Not : Böyle iç içe sonsuz çarpımlarda kökün derecesi 1 azaltıp sonuca hemen gidebiliriz.

\displaystyle Yani;\text{ }\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36.\sqrt[3]{{36...}}}}}}=\sqrt[{3-1}]{{36}}=\sqrt{{36}}=6\text{ })

 

Doğru Cevap : B şıkkı


SORU:13)

\displaystyle \left( {\sqrt{{12+\sqrt{{12+\sqrt{{12+...}}}}}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{12-\sqrt{{12-\sqrt{{12-...}}}}}}} \right)

işleminin sonucu kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 144

ÇÖZÜM:

\displaystyle \sqrt{{12+\underbrace{{\sqrt{{12+\sqrt{{12+...}}}}}}_{x}}}=x

şeklinde denklemi yazıp çözüme gidebiliriz. Ancak bu tarz sonsuz toplam ve çıkarmalarda ezbersel kolay bir yöntem var. Eğer içerdeki sayı ardışık iki terimin çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa toplamın sonucu büyük terime, çıkarmanın
sonucu küçük terime eşittir. Yani;

\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{\overset{\downarrow }{\mathop{{3.4}}}\,\text{                                                }}}{\mathop{{\sqrt{{12+\sqrt{{12+\sqrt{{12+...}}}}}}}}}\,=4\text{    t }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r}\text{.}\\\underset{{\overset{\downarrow }{\mathop{{3.4}}}\,\text{                                                }}}{\mathop{{\sqrt{{12-\sqrt{{12-\sqrt{{12-...}}}}}}}}}\,=3\text{    t }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r}\text{. Buna g }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ re;}\\\left( {\sqrt{{12+\sqrt{{12+\sqrt{{12+...}}}}}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{12-\sqrt{{12-\sqrt{{12-...}}}}}}} \right)=4.3\\\text{                                                                         }=12\text{  buluruz}\end{array}

Doğru Cevap : D şıkkı


SORU:14)

\displaystyle \sqrt{{{{{100}}^{2}}+{{{99}}^{2}}-200.99}}

işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:

Kök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde ifade edebiliriz.

\displaystyle \begin{array}{l}\text{(Not:  (a}-\text{b}{{\text{)}}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\text{ })\\\underset{{\overset{\downarrow }{\mathop{{100}}}\,\text{             }\overset{\downarrow }{\mathop{{99}}}\,\,\text{              2}\text{.}\overset{\downarrow }{\mathop{{99.100}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{{{{100}}^{2}}+{{{99}}^{2}}-200.99}}}}}\,=\sqrt{{{{{\left( {100-99} \right)}}^{2}}}}\\\text{                                      }=\sqrt{{{{1}^{2}}}}=1\text{   }olarak\text{  buluruz}\end{array}

Doğru Cevap : A şıkkı


SORU:15)

\displaystyle \sqrt{{120.130+25}}

işleminin sonucu kaçtır?

A) 100 B) 120 C) 125 D) 130 E) 150

ÇÖZÜM:

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{120.130+25}}\text{  ifadesinde   120 }\!\!'\!\!\text{ ye x dersek;}\\\sqrt{{120.130+25}}=\sqrt{{x.(x+10)+25}}\\\text{                          }=\sqrt{{{{x}^{2}}+10x+25}}\text{  olur}\text{.}\end{array}

Bu ifadeye dikkatli bakarsak tam kare bir ifade olduğunu görebiliriz;

\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{\overset{\downarrow }{\mathop{x}}\,\text{           }\overset{\downarrow }{\mathop{{\text{2}\text{.5}\text{.x}}}}\,\text{        }\overset{\downarrow }{\mathop{\text{5}}}\,}}{\mathop{{\sqrt{{{{x}^{2}}+10x+25}}}}}\,=\sqrt{{{{{\left( {x+5} \right)}}^{2}}}}=\left| {x+5} \right|\\x'i\text{n yerine 120 yazal }\!\!\imath\!\!\text{ m}\text{,}\\\text{                          }=\left| {120+5} \right|=125\text{  buluruz}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap : C şıkkı


SORU:16)

\displaystyle \sqrt{{2000.1998-1997.2001+6}}

işleminin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

ÇÖZÜM:

\displaystyle \sqrt{{2000.1998-1997.2001+6}}

ifadesini rahat çözebilmek için çarpılan sayılardan birine x diyelim, Mesela 1997= x olsun. Buna göre;

 

\displaystyle \begin{array}{l}=\sqrt{{2000.1998-1997.2001+6}}\text{ }\\=\sqrt{{(x+3).(x+1)-x.(x+4)+6}}\\=\sqrt{{{{x}^{2}}+4x+1-({{x}^{2}}+4x+16)+6}}\\=\sqrt{{{{x}^{2}}+4x+1-{{x}^{2}}-4x-16+6}}\\=\sqrt{{1-16+6}}\\=\sqrt{9}=3\text{ bulunur}\text{.}\end{array}

Doğru Cevap : B şıkkı


SORU:17)

Aşağıda verilen irrasyonel sayılardan hangisinin yaklaşık değeri bilinirse \displaystyle \sqrt{{75}} sayısının yaklaşık değeri bulunabilir?

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }\sqrt{\text{2}}\text{   }} & {B)\text{ }\sqrt{\text{3}}} & {C)\text{ }\sqrt{\text{5}}} & {D)\text{ }\sqrt{\text{6}}} & {E)\text{ }\sqrt{7}} \end{array}

ÇÖZÜM:

\displaystyle \sqrt{{75}} köklü ifadenin içindeki sayıyı olabildiğince kökün dışına çıkaralım. Bunun için sayıyı çarpanlarına ayıralım.

\displaystyle \sqrt{{75}}=\sqrt{{25.3}}=5\sqrt{3} tür. Eğeri \displaystyle \sqrt{3} ‘ün yaklaşık değeri bilinirse köklü ifadenin değeri bulunabilir.

Doğru Cevap : B şıkkı


SORU:18)

\displaystyle \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\y=\sqrt{3}\\z=\sqrt{5}\end{array} \right\}\ \ \begin{array}{*{20}{l}} {oldu\breve{g}una\text{ }g\ddot{o}re\text{ }\sqrt{{150}}\text{ }say\imath s\imath n\imath n\text{ }x,y\text{ }ve\text{ }z} \\ {t\ddot{u}r\ddot{u}nden\text{ }esiti\text{ }asa\breve{g}\imath dakilerden\text{ }hangi-} \\ {sidir?} \end{array}\text{ }\\\begin{array}{*{20}{l}} {A)\text{ }xy{{z}^{2}}} & {B)\text{ }{{x}^{2}}yz} & {C)\text{ }x{{y}^{2}}z} & {D)\text{ }{{x}^{2}}y{{z}^{2}}} & {E)\text{ }xy{{z}^{4}}} \end{array}\end{array}

ÇÖZÜM:

\displaystyle \sqrt{{150}} sayısını asal çarpanlarına ayıralım;
\displaystyle \sqrt{{150}}=\sqrt{{25.6}}=\sqrt{{2.3.5.5}}=\sqrt{2}.\sqrt{3}.\sqrt{5}.\sqrt{5}
Şimdi x,y ve z değerlerini yazalım;
\displaystyle \sqrt{2}.\sqrt{3}.\sqrt{5}.\sqrt{5}=x.y.{{z}^{2}} olarak buluruz.

Doğru Cevap : A şıkkı


SORU:19)

\displaystyle \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}-\sqrt{{{{x}^{3}}-10}}=5
olduğuna göre \displaystyle \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}+\sqrt{{{{x}^{3}}-10}} ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:

Soruda istenen ifade, bir değere eşit olsun,
\displaystyle \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}+\sqrt{{{{x}^{3}}-10}}=a olsun,
Soruda bize \displaystyle \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}-\sqrt{{{{x}^{3}}-10}} ‘ in 5’ e eşit olduğu verilmiş. Bu iki denklemi taraf tarafa çarpalım;

\displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \ \ \ \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}-\sqrt{{{{x}^{3}}-10}}=5\\\underline{{\ \ x\ \ \ \ \sqrt{{{{x}^{3}}+5}}+\sqrt{{{{x}^{3}}-10}}=a\ \ \ \ }}\\{{\left( {\sqrt{{{{x}^{3}}+5}}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{{{{x}^{3}}-10}}} \right)}^{2}}=5a\\\text{              }{{x}^{3}}+5-({{x}^{3}}-10)=5a\\\text{                }{{x}^{3}}+5-{{x}^{3}}+10=5a\\\text{                                      }15=5a\\\text{                                        }a=3\text{  olarak buluruz}\text{.}\end{array}
Doğru Cevap : C şıkkı


Kitap Formatında Görmek için Tıkla

Köklü Sayılar Soru ve Çözümleri 2 (Latex Formatı)” üzerine bir yorum

Yorum yapın