Değişim Oranı
Örnek:
Anlık Değişim Oranı ve Türev
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Türevin Limit Olarak Gösterimi
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Türev Alma Kuralları
Örnek:
Genel Türev Kuralı
Örnek:
Örnek:
Çözüm:
Toplama ya da Çıkarmada Türev
Örnek:
Örnek:
Çözüm:
Çarpımın Türevi
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Not:
Örnek:
İkiden Fazla Fonksiyonun Çarpımında Türev
Örnek:
Çözüm:
Bölümün Türevi
Örnek:
Çözüm:
Fonksiyonun Kuvveti Alındığında Türev
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Not:
Örnek:
Bileşke Fonksiyonun Türevi
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Türev Zincir Kuralı
Örnek:
Çözüm:
İkinci Mertebeden Türev
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Türevin Varlığı ve Süreklilik
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Mutlak Değerli Fonksiyonlarda Türev
Örnek:
Not:
Örnek:
Örnek:
Çözüm:
L’hospital
Örnek:
Çözüm:
2.sayfaya geçmek için Tıklayın.
(Türevin Fiziksel ve Geometrik Yorumu)
| Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla |
| Türev Konu Notlarını pdf indir |
| Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.) |
TÜREV KONU NOTLARI www.matematikkolay.net Değişim Oranı f(x) in [a, b] aralığındaki değişim oranı (ortalama hızı) f(b) f(a) y’deki değişim y formülü ile bulunur. b a x’teki değişim x Örnek: f(x) in [1, 4] aralığındaki değişim oranı f(4) f(1) 21 6 15 5 tir. 4 1 3 3 Anlık Değişim Oranı Ve Türev 0 0 x x0 0 0 Bir fonksiyonun x daki anlık değişim oranı f(x) f(x ) lim formülü ile bulunur. x x x x paydası sayesinde x’teki değişim sıfıra yaklaştırılır ve anlık değişim oranı bulunmuş olunu Not : r. 0 0 x noktasındaki anlık değişim oranına türev denir. f'(x ) ile gösteririz. dy Ayrıca x noktasındaki türevi , y’ şekillerinde de dx ifade edebiliriz. Örnek: 2 0 0 x x0 0 f(x) x 2x fonksiyonu veriliyor. f(x) f(x ) f'(x ) lim formülünü kullanarak f'(4) ü x x hesaplayın. Çözüm: x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 f(x) f(4) f'(4) lim x 4 x 2x (16 8) lim x 4 x 2x 24 lim x 4 (x 4) lim (x 6) x 4 4 6 10 dur. Not: 0 Teğetin eğimi ile anlık değişim oranı aynıdır. Dolayısıyla, teğetin eğimi f'(x ) dır. Örnek: x 4 2 x 4 2 x 4 x 4 f(x)’in x 4 noktasındaki türevini hesaplayalım. f(x) f(4) f'(4) lim x 4 x 4x 1 (16 16 1) lim x 4 x 4x 1 1 lim x 4 x (x 4) lim x 4 eğim 4 tür. Dikkat ederseniz, teğetin eğimi de 4 tür. (y x 15) 4 www.matematikkolay.net Türevin Limit Olarak Gösterimi 0 0 x x0 0 0 0 0 0 h 0 f(x) f(x ) lim f'(x ) dır. x x Ayrıca x ile x arasındaki mesafeye h dersek, f(x h) f(x ) f'(x ) lim olarak yazabiliriz. h Örnek: 2 f(x) x ise f'(x) nedir? Çözüm: h 0 2 2 h 0 2 h 0 f(x h) f(x) f'(x) lim h (x h) x lim h x lim 2 2 2xh h x h 0 h h lim (2x h) h h 0 lim(2x h) 2x 0 2x tir. Not: 0 0 0 h’li türev formülündeki mantık şu şekildedir : x konumundan h birim yukarı çıktığımızı düşünelim. f(x h) görüntüsü ile f(x ) görüntüsü arasındaki fark, bize y’deki değişimi verir. h ise x’ler arsındaki m 0 esafedir. İkisinin oranında h’yi 0 a götürürsek, x noktasında türev almış oluruz. Örnek: f(x) x ise f'(4) nedir? Çözüm: h 0 h 0 x h x h 0 h 0 f(x h) f(x) f'(x) lim h x h x lim h x h x lim h x h x h lim h x h x 1 x 0 0 1 tir. x 1 1 f'(4) dir. 4 2 Not: Sorularda türevin limit gösterimleri farklı şekillerde ortaya çıkabilir. Bizim bunları, bildiğimiz formlara çevirmemiz gerekebilir. Örnek: x 2 f(x) 6 f( 2) 6 ve f'( 2) 4 ise lim kaçtır? 3x 6 Çözüm: x 2 x 2 f( 2) x 2 x 2 f(x) 6 (f(x) 6) lim lim 3x 6 3(x 2) 1 f(x) 6 lim 3 x 2 1 f(x) f( 2) lim 3 x ( 2) 1 f'( 2) 3 4 tür. 3 Örnek: x 0 f(0) f(x) f'(0) 6 ise lim kaçtır? 2x Çözüm: www.matematikkolay.net x 0 x 0 x 0 h 0 1 f(x) f(0) 1 f(x) f(0) f'(0) lim lim 2 x 2 x 0 2 6 3 tür. 2 veya; x yerine h kullanalım. 1 f(x) f(0) 1 f(h) f(0) lim lim 2 x 2 h h 0 f(x h) f(x ) 0 0 f'(x ) lim 0 h 0 h 1 f(0 h) f(0) lim 2 h f'(0) 6 3 tür. 2 2 Türev Alma Kuralları Sabit fonksiyonun türevi 0 dır. Çünkü bir değişim yoktur. Örnek: 3 f(x) 5 ise f'(x) 0 dır. f(x) log 8 ise f'(x) 0 dır. Genel Türev Kuralı n n 1 k ve n birer gerçel sayı olmak üzere, x in türevi n.x dir. Yani, üs başa çarpım olarak gelir. Mevcut üs de bir azaltılır. f n n 1 (x) k.x ise f'(x) k.n.x dir. Örnek: 3 2 4 3 2 3 1 1 2 2 1 2 3 4 3 4 f(x) x ise f'(x) 3x dir. f(x) 3x ise f'(x) 12x tür. f(x) x ise f'(x) 2x tür. 1 1 1 1 f(x) x ise f'(x) x ‘ x tir. 2 2 2 x x 2 6 f(x) ise f'(x) 2x ‘ 6x tür. x x f(x) x ise f’ (x) 1 dir. f(x) 4x ise f'(x) 4 tür. f(x) 1 ise f'(x) 0 dır. (Sabit Fonksiyon) Örnek: 4 x 2 f(2) f(x) f(x) x ise lim kaçtır? 2x 4 Çözüm: x 2 x 2 4 3 3 f(2) f(x) 1 f(x) f(2) 1 lim lim f'(2) dir. 2x 4 2 x 2 2 f'(2) yi bulalım. f(x) x ise f'(x) 4x tür. f'(2) 4.2 4.8 32 dir. 1 32 f'(2) 16 buluruz. 2 2 Toplama ya da Çıkarmada Türev f(x) ve g(x), türevlenebilir fonksiyonlar olsun. f(x) g(x) ‘ f'(x) g'(x) ve f(x) g(x) ‘ f'(x) g'(x) tir. Yani, toplama ya da çıkarmada ayrı ayrı türev alabiliriz. Örnek: 2 3 2 2 2 3 2 f(x) x 2x ise f'(x) 2x 1 dir. dy y x x 5 ise 3x 1 dir. dx y x x ise y’ 2x 2x tir. dy y 2t t ise 0 dır. (y fonksiyonunda x değiş- dx keni olmadığı için, sa 2 bit terim gibi işlem görür.) dy y 2t t ise 4t 1 dir. dt dy demek, t ye göre türev al demektir. dt Örnek: 3 2 f(x) ax ax ve f'(2) 24 oldu ğuna göre, a kaçtır? Çözüm: 2 f'(x) 3ax 2ax f'(2) 12a 4a 24 8a a 3 tür. Çarpımın Türevi f ve g türevlenebilir iki fonksiyon olsun. (f.g)’ f’.g f.g’ dir. Yani, Birinci fonksiyonun çarpı İkinci fonksiyon Birinci fonksiyon çarpı İkinci fonksiyonun türevidir. türevi Örnek: www.matematikkolay.net 2 3 f(x) (x x)(x x) ise f'(1) kaçt ır? Çözüm: 2 3 2 3 3 2 2 f'(x) (x x)’.(x x) (x x).(x x)’ (2x 1).(x x) (x x).(3x 1) dir. f'(1) 3.0 2.2 4 tür. Not: Çarpımın türevinde, toplama ya da çıkarmada olduğu gibi ayrı ayrı türev alamayız. Örnek: 2 2 2 2 2 2 f(x) (x 1).x olsun. f'(2) yi bulalım. f'(x) 2x.x (x 1).2x f'(2) 2.2.4 3.4 16 12 28 dir. Ayrı ayrı türev alıp, çarpmak hatalı olur. Deneyelim. x 1 in türevi 2x tir. x nin türevi 2x tir. 2x.2x=4x 2 2 buluruz. x=2 yazarsak 4.2 4.4 16 olur. (Ama 28 olma lıydı) Not: Bazen, çarpımın türev kuralını uygulamak yerine asıl fonksiyonu açarak yapmak daha kolay olabilir. Örnek: 2 2 f(x) (x 1)(x 1) ise f'(3) kaçt ır? Çözüm: 4 3 3 2 2 f(x) x 1 olarak yazabiliriz. f'(x) 4x tür. f'(x) 4.3 4.27 108 dir. Çarpım kuralını uygulasaydık f'(x) 2x.(x 1) (x 1).2x f'(3) 6.10 8.6 60 48 1 08 buluruz. (Daha çok işlem var) İkiden Fazla Fonksiyon Çarpımında Türev İkiden fazla çarpımda da türevin çarpım kuralını uygulayabiliriz. Sırasıyla birisinin türevini alıp, diğerlerinin türevsiz halleriyle çarpacağız. Sonra hepsini toplayacağız. Örnek: f(2) 4 , f'(2) 3 g(2) 2 , g'(2) 1 h(2) 0 h'(2) 1 f(x).g(x).h(x) çarpımının x 2 noktasındaki türevi kaçtır? Çözüm: (f.g.h)’ f’.g.h f.g’.h f.g.h’ dir. f.g.h ‘(2) f'(2).g(2).h(2) f(2).g'(2).h(2) f(2).g(2).h'(2) 3.2.0 4.1.0 4.2.( 1) 0 0 ( 8) 8 dir. Bölümün Türevi 2 f ve g türevlenebilir iki fonksiyon olsun. f f’g f.g’ ‘ dir. g g Örnek: 2 x 2 f(x) olduğuna göre, f'(0) kaçtır? x 4 Çözüm: 2 2 2 1.(x 4) (x 2).2x f'(x) (x 4) 4 0 1 f'(0) tür. 16 4 Fonksiyonun Kuvveti Alındığında Türev n n 1 n n bir gerçel sayı olmak üzere, y [f(x)] in türevi y’ n.[f(x)] .f'(x) tir. Yani, x gibi türevini aldıktan sonra ayrıca içerdeki fonksiyonun da türevini alacağız. Örnek: 2 3 f(x) (x 2x) oldu ğuna göre, f'( 1) kaçtır? www.matematikkolay.net Çözüm: 2 2 2 f'(x) 3(x 2x) .(2x 2) dir. f'( 1) 3.(1 2) .( 2 2) 3.9.( 4) 108 buluruz. Örnek: 2 1 f(x) olduğuna göre, f'(2) kaçtır? x x 1 Çözüm: 2 1 2 2 2 2 2 f(x) (x x 1) f'(x) 1(x x 1) (2x 1) dir. 2x 1 f'(2) (x x 1) 5 (4 2 1) 5 25 1 buluruz. 5 Örnek: 2 f(x) x 2x oldu ğuna göre, f'(4) kaçtır? Çözüm: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 f(x) x 2x 1 f'(x) x 2x 2x 2 2 1 (2x 2) f'(x) 2 (x 2x) x 1 f'(x) dir. x 2x 3 3 3 3 2 f'(4) tür. 16 8 8 2 2 4 Not: Karekök için şunu yazabiliriz (Pratik olması için). f'(x) f(x) in türevi tir. 2 f(x) Örnek: 2 2 2 2x 2 x 1 f(x) x 2x in türevi tir. 2 x 2x x 2x Not: Köklü ifadelerin dereceleri 2 den farklıysa, üslü ifadelere çevirip türev alabiliriz. Onlar için de türev kuralı var ama bu aşamada ezberlemeye gerek görmüyoruz. Örnek: 3 2 f(x) x x 3 ise f'(5) kaçt ır? Çözüm: 1 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 6 3 f(x) x x 3 1 f'(x) x x 3 2x 1 3 2x 1 f'(x) 3(x x 3) 2x 1 f'(x) dir. 3 (x x 3) 11 f'(5) 3 (25 5 3) 11 11 11 11 buluruz. 3 (27) 3 3 3.3 27 Bileşke Fonksiyonun Türevi n f(x) ve g(x), türevlenebilir fonksiyonlar olsun. (fog)'(x) f(g(x)) ‘ f'(g(x)).g'(x) tir. Yani, [f(x)] gibi, türevini aldıktan sonra içerdeki fonksiyonun türevini de çarpım olarak yazıyoruz. Örnek: 2 3 f(x) x 1 ve g(x) x olduğuna göre, (fog)'(2) kaçtır? Çözüm: www.matematikkolay.net 3 2 16 12 (fog)'(2) f'(g(2)).g'(2) dir. f'(x) 2x tir. g(2) 2 8 dir. f'(g(2)) 2.8 16 dır. Buna göre, g'(x) 3x g'(2) 12 dir. (fog)'(2) f'(g(2)).g'(2) 192 buluruz. Örnek: 3 2 f(x 8) x 1 ise, f'( 7) kaçt ır? Çözüm: 3 2 2 3 f(x 8) x 1 iki tarafın türevini alalım. (3x ).f'(x 8) 2x x 1 yazalım. 3.f'( 7) 2 2 f'( 7) tür. 3 Türevde Zincir Kuralı y f(u), u g(t) ve t h(x) olsun. dy dy du dt olarak bulabiliriz. dx du dt dx Örnek: 2 3 x 9 y u u v 17 dy v x olduğuna göre, kaçtır? dx Çözüm: 2 dy dy du dv dx du dv dx 1 2u 3v 2 x x 9 için v 3 tür. v 3 için u 27 17 10 dur. 2 .10. 3 1 .9 2 . 3 90 buluruz. İkinci Mertebeden Türev 2 2 Bir fonksiyonun türevinin bir daha türevini alırsak ikinci mertebeden türevini almış oluruz. d (f(x)) Bu durum y”, f”(x) veya olarak gösterilir. dx Örnek: 3 2 f(x) x 2x x oldu ğuna göre, f”(1) kaçtır? Çözüm: 2 f'(x) 3x 4x 1 dir. f”(x) 6x 4 tür. f”(1) 6 4 10 dur. Not: Bir fonksiyonun çift katlı bir kökü varsa, 1. türevinin de bir köküdür. Üçüncü dereceden kökü varsa, hem birinci hem de ikinci dereceden de kökü olacaktır. … Bu şekilde ilerletebiliriz. Örnek: 2 3 2 f(x) (x 2) ise f'(x) 2(x 2) dir. x 2 değeri f'(x) in köküdür. g(x) (x 1) ise g'(x) 3(x 1) dir. g”(x) 6(x 1) dir. x 1 de ğeri g'(x) ve g”(x) in köküdür. Türevin Varlığı Ve Süreklilik x a x a Limit gibi, bir noktada sağdan ve soldan türeve bakılabilir. f(x) f(a) Soldan Türev lim f'(a ) x a f(x) f(a) Sağdan Türev lim f'(a ) dır. x a Bir noktada türev var, diyebilmemiz için fonksiyon o noktada olmalı ayrıca olmalıdır. tanımlı ve sürekli soldan ve sağdan türevler birbirine eşit Örnek: 2 x 2 x 1 f(x) 3x x 1 fonksiyonu veriliyor. f'(1) var mıdır? www.matematikkolay.net Çözüm: 1 Sürekliliğe bakalım. f'(1 ) 1 2 3 tür. f'(1) 1 2 3 tür. x 1 noktasında süreklidir. f'(1 ) 3.1 3 tür. Soldan ve sağdan türevlere bakalım. 1 için f'(x) 2x 2 dir. Eşit d 1 için f'(x) 3 tür. eğil. Türev yoktur. Not: Şartlar düşünüldüğünde en ağır şart, türevlilik şartlarıdır. Yani bir fonksiyonunun x a da türevi varsa, Bu fonksiyon x a da, * Limiti vardır. (Sağdan ve soldan limitler eşittir.) * Tanımlıdır. * Sürekl idir. * Sağdan ve soldan türevleri birbirine eşittir. Bunlardan biri bile sağlanamazsa türevi yoktur. Örnek: f(x) x 2 4 x olduğuna göre, f(x) in hangi aralıkta türevi vardır? Çözüm: x 2 x 4 f(x) x 2 4 x Tanım aralığı [2, 4] aralığıdır. Türev aldığımızda, 1 1 f'(x) olur. 2 x 2 2 4 x Paydayı 0 yapacak değerleri yazdığımızda fonksiyo – nun türevi reel bir sayıya eşit olamaz. Bu sebe ple x 2 ve x 4 değerlerinde de türev yoktur. Tanım kümesindeki diğer noktalarda ise soldan ve sağdan türev aynı gelecektir. O halde, f(x) in (2, 4) aralığında türevi vardır. Bir fonksiyonun olabilecek Not : en geniş tanım aralığındaki uç noktalarında türevi olmaz. Örnek : x 1 in x 1 de türevi yoktur. Örnek : [2, 3] aralığında tanımlı x 1 in x 2 de türevi vardır. (x 2, olabilec ek en geniş tanım aralığının uç noktası değildir.) Not: f(x) in x a noktasında türevi yoktur. Çünkü fonksiyon tanımlı değildir. f(x) in x a noktasında türevi yoktur. Çünkü fonksiyon sürekli değildir. www.matematikkolay.net f(x) in x a noktasında türevi yoktur. Çünkü soldan ve sağdan farklı türeve (eğime) sahiptir. Grafiklerde sivri uç, kırıklık, köşe görüyorsak buralarda direkt türev yok diyebiliriz. Not : f(x) in x a noktasında türevi vardır. Kırık uçlarda olduğu gibi burada sert eğim geçişi olmamıştır. Mutlak Değerli Fonksiyonlarda Türev Mutlak değerin içini 0 yapmayan noktalarda, bulunduğu bölgeye göre, fonksiyon mutlak değerin dışına alınır ve türev uygulanır. Ancak, mutlak değerin içini 0 yapan noktalar kritik noktalardır. Bu noktalarda sağdan ve soldan türeve bakılıp, öyle karar verilmelidir. Örnek: 3 3 3 içerisi negatif 2 3 3 içerisi pozitif f(x) x 8 dir. f'(1), f'(3), f'(2) değerlerini bulunuz. x 1 için x 8 x 8 olarak dışarı çıkar. Türev alırsak 3x olur. O halde, f'(1) 3 tür. x 3 için x 8 x 8 2 3 olarak dışarı çıkar. Türev alırsak 3x olur. O halde, f'(3) 27 dir. x 2 değeri, mutlak değerin içini 0 yapıyor. Bu nedenle soldan ve sağdan bakalım. x 2 için x 8 olarak dışarı çıkar. 2 2 3 2 2 Türevi 3x 12 dir. x 2 için x 8 olarak dışarı çıkar. Türevi 3x 12 dir. Farklı olduğu için f'(2) yoktur. Not: Mutlak değerin içini 0 yapan kök, birinci dereceden bir kök ise orada türev yoktur. Eğer 2 veya daha fazla dereceden bir kök ise, orada türev vardır ve 0 dır. Örnek: 2 3 f(x) x 2 fonksiyonunda f'( 2) yoktur. g(x) (x 2) fonksiyonunda g'( 2) vardır ve 0 dır. h(x) (x 2) fonksiyonunda h'( 2) vardır ve 0 dır. www.matematikkolay.net Örnek: 2 a bir reel sayı olmak üzere, f(x) x ax 4 fonksiyonu tüm reel sayılarda türevli ise, a’nın alabileceği değer aralığını bulunuz. Çözüm: 2 2 2 Mutlak değerin birinci dereceden bir kökü olmazsa reel sayılarda türevli olur. Yani, çift katlı kökü olabilir ya da hiç kökü olmayabilir. O halde, 0 olmalıdır. a 4.1.4 0 a 16 0 a 16 4 a 4 aralığında olmalıdır. L’hospital 0 Limit alırken belirsizliği ile karşılaşıyorsak, 0 Pay ve paydanın ayrı ayrı türevini alıp limit hesaplayabiliriz. (Bölümün türevi değil.) olarak geçen bu kural, müfredatta yer almıyor L’hospital kuralı . Ancak bilinmesinde büyük yarar vardır. Örnek: 2 x 1 x x 2 lim limitinin değeri kaçtır? x 1 Çözüm: 2 x x 2 0 x 1 için belirsizliği x 1 0 L’hospital yapalım. 2x 1 Pay ve paydanın türevini alırsak olur. 1 2 x 2 1 3 x 1 yazalım. 6 buluruz. 1 1 2 2
