Sayı Kümeleri

Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam adı verilir.
Rakamlar kümesi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dir.

SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları (\displaystyle {{N}^{+}}) : {1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.


2. Doğal Sayılar (N): {0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. \displaystyle \mathbb{N} ile gösterilir.

3. Tam Sayılar (Z): {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her birelemanına tam sayı denir. \displaystyle \mathbb{Z} şeklinde gösterilir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi :\displaystyle {{\mathbb{Z}}^{-}} şeklinde, pozitif tam sayılar kümesi :\displaystyle {{\mathbb{Z}}^{+}} şeklinde gösterilir ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir.
Buna göre, \displaystyle \mathbb{Z}={{\mathbb{Z}}^{-}}\cup \left\{ 0 \right\}\cup {{\mathbb{Z}}^{+}} dır.

4. Rasyonel Sayılar (Q): a ve b birer tam sayı ve \displaystyle b\ne 0  olmak koşuluyla \displaystyle \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

\displaystyle \mathbb{Q}=\left\{ {\frac{a}{b};\text{ }a,\text{ }b\in \mathbb{Z},\text{ }b\ne 0} \right\} şeklinde gösterilir.

Not: Her tam sayı paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır.

Not: İki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunabilir. 

Örnek:  \displaystyle \frac{2}{5},\text{ }\frac{{-7}}{3},\text{ }\frac{8}{4},\text{ 5}\text{, }-9 birer rasyonel sayıdır.

5. İrrasyonel Sayılar (Q’): \displaystyle \frac{a}{b} şeklinde yazılamayan yani rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Ondalıklı gösterimlerinde virgülden sonra belli bir kurala göre gitmezler. İrrasyonel sayılar kümesi \displaystyle \mathbb{Q}' şeklinde gösterilir.

Örnek: \displaystyle \sqrt{2},\text{ }\sqrt{5},\text{ }1+\sqrt{2},\text{ }-\sqrt[3]{{12}}\text{, }e=2,718...,\text{ }\pi =3,1415926... sayıları birer irrasyonel sayıdır.

Not: Bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz.

Not: \displaystyle \sqrt{3},\text{ }\sqrt{5} gibi kökten çıkmayan sayılar irrasyoneldir. 

6. Gerçek (Reel) Sayılar (R): Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel gerçek (reel) sayılar kümesi denir.
\displaystyle \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}'  şeklinde gösterilir.

Örnek: \displaystyle -2,\text{ }\frac{3}{8},\text{ }\frac{\pi }{3},\text{ e}\text{, }\sqrt[3]{6},\text{ 5} birer gerçek sayıdır.

Örnek:

\displaystyle -5,\text{ }-\sqrt{9},\text{ 2}\text{, }\frac{5}{3},\text{ }\sqrt{5},\text{ 0}\text{, 6}\text{, 6}\sqrt{3},\text{ 2}\text{,}\overline{\text{3}},\text{ }\pi sayılarından hangileri,

a) doğal sayıdır?

b) tam sayıdır?

c) rasyonel sayıdır?

d) irrasyonel sayıdır?

Çözüm İçin Tıklayınız

a) \displaystyle \text{2}\text{,0}\text{,6} birer doğal sayıdır.

b) \displaystyle -5,2,0,6 birer tam sayıdır. Ayrıca \displaystyle -\sqrt{9} da bir tam sayıdır. Çünkü \displaystyle -3 e eşittir.

c) \displaystyle -5,\text{ }-\sqrt{9}\text{ },\text{ }2,\text{ }\frac{5}{3},\text{ }0,\text{ }6,\text{ 2}\text{,}\overline{\text{3}} birer rasyonel sayıdır.

d) \displaystyle \sqrt{5},\text{ 6}\sqrt{3},\text{ }\pi birer irrasyonel sayıdır.

Sayı Kümelerininin Venn Şemasıyla Gösterimi

\displaystyle {{N}^{+}}\subset N\subset Z\subset Q\subset R ve \displaystyle Q'\subset R şeklinde kümeleri ifade edebiliriz. Ayrıca,

\displaystyle Q\cap Q'=\varnothing ve \displaystyle Q\cup Q'=R olduğunu görebiliriz.

Pergelle bir sayıyı sayı doğrusu üzerinde gösterme

Örnek: \displaystyle \sqrt{2} sayısını sayı doğrusu üzerinde nasıl gösteririz?

İlk önce sayı doğrusu üzerinde dik kenarları 1’er birim olacak şekilde üçgen çizeriz. Bu üçgenin hipotenüsü \displaystyle \sqrt{2} birimdir.

Yarıçap \displaystyle \sqrt{2} olacak şekilde pergelle çember çizersek, bunun sayı doğrusunu kestiği pozitif nokta \displaystyle \sqrt{2} dir.

Gerçek Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: Her a, b ∈ R için a + b ∈ R dir. Gerçek sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme özelliği: Her a, b ∈ R için a + b = b + a olur. Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme özelliği: Her a, b, c ∈ R için (a + b) + c = a + (b + c) olur. Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Etkisiz eleman: Her a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a olur. Gerçek sayılar kümesinde 0, toplama işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.

5. Ters eleman: Her a ∈ R için a + (– a) = (– a) + a = 0 olur. Gerçek sayılar kümesinde her elemanın toplama işlemine göre tersi vardır.

Örnek:

\displaystyle (\sqrt{3}+4)+\sqrt{2}=\sqrt{3}+(\sqrt{2}+x) eşitliğindeki x’i toplama işleminin özelliklerini kullanarak bulalım.

Çözüm:

\displaystyle \sqrt{3}+(4+\sqrt{2})=\sqrt{3}+(\sqrt{2}+x)  Birleşme Özelliği

\displaystyle \sqrt{3}+(\sqrt{2}+4)=\sqrt{3}+(\sqrt{2}+x)  Değişme Özelliği

\displaystyle \sqrt{3}+(-\sqrt{3})+(\sqrt{2}+4)=\sqrt{3}+(-\sqrt{3})+(\sqrt{2}+x) Ters Eleman Özelliği

\displaystyle \sqrt{2}+(-\sqrt{2})+4=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+x Ters Eleman Özelliği

\displaystyle x=4   bulunur.

Gerçek Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: Her a, b ∈ R için a · b ∈ R dir. Gerçek sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme özelliği: Her a, b ∈ R için a · b = b · a olur. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme özelliği: Her a, b, c ∈ R için (a · b) · c = a · (b · c) olur. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Etkisiz eleman: Her a ∈ R için a · 1 = 1 · a = a olur. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı 1 dir.
5. Ters eleman: Her a ∈ R – {0} için\displaystyle a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1 olur. Gerçek sayılar kümesinde 0 hariç her elemanın çarpma işlemine göre tersi vardır.

6. Yutan eleman: Her a ∈ R için a · 0 = 0 · a = 0 olur. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır.

7. Dağılma özelliği: Her a, b, c ∈ R için a · (b + c) = a · b + a · c ve (b + c) · a = b · a + c · a dır. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Örnek:

2’nin toplama işlemine göre tersi ile 3’ün çarpmaya göre tersi çarpılırsa sonuç kaç olur?

Çözüm:

2 nin toplamaya göre tersi -2 dir.

3’ün çarpmaya göre tersi \displaystyle \frac{1}{3} tür. 

Bu ikisini çarparsak,

\displaystyle -2\cdot \frac{1}{3}=-\frac{2}{3} buluruz.

Sayı Doğrusu

Gerçek sayılar kümesinin her elemanına sayı doğrusunda bir
nokta karşılık gelir. Gerçek sayılar kümesinin geometrik gösterimi sayı doğrusudur.

Örnek: \displaystyle A(3),\text{ B(}-5\text{)}\text{, C(}\sqrt{2}\text{-1)} in sayı doğrusu üzerindeki yerleri aşağıdaki gibidir.

Koordinat Sistemi

Gerçek sayılarla elde edilen sıralı ikililer kümesinin her elemanına koordinat sistemi üzerinde bir nokta karşılık gelir.

R x R nin geometrik gösterimi koordinat sistemi olur.

Örnek:

Yukarıdaki koordinat sisteminde A(a, b) ve B(c, d) noktaları verilmiştir. Buna göre, a.c-b.d işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

A noktası (4, -2) noktasıdır.

B noktası ise (-2, 3) noktasıdır. Buna göre,

a.c-b.d=4.(-2)-(-2).3=-8+6=-2  dir.

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

Yorum yapın