Polinomlar

 

n bir doğal sayı ve  \displaystyle {{a}_{0}},\text{ }{{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }...\text{ },\text{ }{{a}_{{n-1}}},\text{ }{{a}_{n}} birer gerçel sayı olmak üzere,

\displaystyle P\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{a}_{0}}\text{ }+\text{ }{{a}_{1}}x\text{ }+\text{ }{{a}_{2}}{{x}^{2}}\text{ }+\text{ }...\text{ }+\text{ }{{a}_{{n-1}}}{{x}^{{n-1}}}+{{a}_{n}}{{x}^{n}}

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

 TEMEL KAVRAMLAR


\displaystyle P\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{a}_{0}}\text{ }+\text{ }{{a}_{1}}x\text{ }+\text{ }{{a}_{2}}{{x}^{2}}\text{ }+\text{ }...\text{ }+\text{ }{{a}_{{n-1}}}{{x}^{{n-1}}}+{{a}_{n}}{{x}^{n}}  olmak üzere,

\displaystyle {{a}_{0}},\text{ }{{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},\text{ }...\text{ },\text{ }{{a}_{{n-1}}},\text{ }{{a}_{n}}  in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

\displaystyle {{\text{a}}_{\text{0}}}\text{, }{{\text{a}}_{\text{1}}}\text{x}\text{, }{{\text{a}}_{\text{2}}}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{, }...\text{ }\text{, }{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}} in her birine polinomun terimleri denir.

Polinomun terimlerinden biri olan \displaystyle {{a}_{2}}{{x}^{2}}  teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

\displaystyle {{a}_{0}}\text{ }=\text{ }{{a}_{1}}\text{ }=\text{ }{{a}_{2}}\text{ }=\text{ }...\text{ }=\text{ }{{a}_{{n-1}}}\text{ }=\text{ }{{a}_{n}}=0  ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

\displaystyle {{a}_{0}}=1\text{ ve }{{\text{a}}_{1}}={{\text{a}}_{2}}={{\text{a}}_{3}}=...={{\text{a}}_{{n-1}}}={{\text{a}}_{n}}=0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir. Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

 ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

\displaystyle \text{P(x}\text{, y) = 3x}{{\text{y}}^{2}}-2{{x}^{2}}y-x+1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

\frac{{P(1)+P(-1)}}{2}\text{ dir}\text{.}

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

\frac{{P(1)-P(-1)}}{2}\text{ dir}\text{.}

POLİNOMLARDA İŞLEMLER

Toplama ve Çıkarma

\displaystyle P(x)\text{ }=\text{ }{{a}_{n}}{{x}^{n}}\text{ }+\text{ }{{a}_{{n-1}}}{{x}^{{n-1}}}+\text{ }{{a}_{{n-2}}}{{x}^{{n-2}}}+...   ve  \displaystyle Q(x)\text{ }=\text{ }{{\text{b}}_{n}}{{x}^{n}}\text{ }+\text{ }{{\text{b}}_{{n-1}}}{{x}^{{n-1}}}+\text{ }{{\text{b}}_{{n-2}}}{{x}^{{n-2}}}+...    olmak üzere,

\displaystyle P(x)+Q(x)\text{ }=\text{ }({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{x}^{n}}\text{ }+\text{ }({{a}_{{n-1}}}+{{b}_{{n-1}}}){{x}^{{n-1}}}+...

\displaystyle P(x)-Q(x)\text{ }=\text{ }({{a}_{n}}-{{b}_{n}}){{x}^{n}}\text{ }+\text{ }({{a}_{{n-1}}}-{{b}_{{n-1}}}){{x}^{{n-1}}}+...  olur.

Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

Bölme

\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. \begin{array}{l}\text{ }P(x)\text{ }\\\end{array} \right|}}\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{{\text{ }Q(x)\text{ }}}} \\ {\text{ }B(x)\text{ }} \end{array}\\\text{ }K(x)\end{array}

P(x) : Bölünen polinom   ,  Q(x) : Bölen polinom  ,   B(x) : Bölüm polinom   ,   K(x) : Kalan polinomdur.

P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)  ,

der [K(x)] < der [Q(x)]

K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

  1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
  2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
  3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
  4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
  5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine -\frac{b}{a}  yazılır.

P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.

P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

P\left( {m\left( {-\frac{b}{a}} \right)+n} \right)=P\left( {\frac{{-mb+an}}{a}} \right)\text{ }d\imath r.

Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n … (1)

P(c) = mc + n … (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

P(x) polinomunun a{{x}^{2}}+bx+c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda {{x}^{2}} yerine yazılır.

P(x) Polinomu \displaystyle {{\text{(ax + b)}}^{\text{n}}} ile Tam Bölünüyorsa, \displaystyle \text{n}\in {{\text{N}}^{+}}

P\left( {-\frac{b}{a}} \right)=0

P'\left( {-\frac{b}{a}} \right)=0

P''\left( {-\frac{b}{a}} \right)=0

P'''\left( {-\frac{b}{a}} \right)=0

…

{{P}^{{n-1}}}\left( {-\frac{b}{a}} \right)=0\text{ d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

\displaystyle P\left( x \right)=a{{x}^{n}}+\text{ }b{{x}^{m}}+d\text{ }

\displaystyle \Rightarrow P'\left( x \right)=a.n{{x}^{{n-1}}}+\text{ }b.m{{x}^{{m-1}}}

\displaystyle \Rightarrow P''\left( x \right)=a.n.\left( {n-1} \right){{x}^{{n-2}}}\text{ }+b.m.\left( {m-1} \right).{{x}^{{m-2}}}\text{ }dir.

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan {{k}_{1}} ,

Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan {{k}_{2}} ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a){{k}_{2}}  +{{k}_{1}}  olur.

BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

\frac{{ax+b}}{{(cx+d)(ex+f)}}=\frac{A}{{cx+d}}+\frac{B}{{ex+f}}

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

cx+d=0\text{ }\Rightarrow \text{ }c=-\frac{d}{c}

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen \frac{{ax+b}}{{ex+f}} de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır.

A=\frac{{a\cdot \left( {-\frac{d}{c}} \right)+b}}{{e\cdot \left( {-\frac{d}{c}} \right)+f}}\text{ }ve\text{ }B=\frac{{a\cdot \left( {-\frac{f}{e}} \right)+b}}{{c\cdot \left( {-\frac{f}{e}} \right)+d}}\text{ dir}\text{.}

DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m   ve   der[Q(x)] = n olsun.  Buna göre,

  1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
  2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
  3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
  4. \displaystyle k\text{ }\in \text{ }{{N}^{+}}\text{ } için \displaystyle der\left[ {{{P}^{k}}\left( x \right)} \right]\text{ }=\text{ }k\text{ }.\text{ }m\text{ }dir.
  5. \displaystyle der[P(kx)]=m,\text{ }k\ne 0\text{ }d\imath r.