Şeklinde katsayıların gerçek sayı, üslerin ise doğal sayı olduğu ifadelere bir değişkenli polinom denir.
Örnek:
Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır.
Örnek:
Çözüm:
Polinomun Özellikleri
Polinomunun katsayıları
Polinomun terimleri
Kuvveti en büyük olan x’in derecesi, polinomun derecesidir ve der[P(x)] ile gösterilir. Bu x’in katsayısı da polinomun başkatsayısıdır.
ise polinomun sabit terimidir.
Örnek:
Polinomunun katsayıları: 3, -2, 1, 5, 1 dir.
Polinomunun derecesi: 4 tür.
Polinomun Baş Katsayısı: 3 tür.
Sabit Terimi: 1 dir.
Tek dereceli terimlerin katsayıları: -2, 5 tir.
Çift dereceli terimlerin katsayıları: 3, 1, 1 dir.
Not: x=0 yazılarak polinomun sabit terimi,
x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur.
P(x) in sabit terimi P(0), katsayılar toplamı da P(1) dir.
Örnek:
Polinomunun sabit terimi
Kat sayılar toplamı
Örnek:
Çözüm:
Not: Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı
Polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise
Örnek:
Not: Polinomdaki değişkenlerin katsayıları 0 ise bu bir sabit polinomdur. Örnek: P(x)=5
Sabit polinomun derecesi 0 dır.
Sabit polinomun sabit değeri 0 ise bu bir sıfır polinomudur. P(x)=0 dır.
Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek:
Çözüm:
Not: P(x)=Q(x) ise bu iki polinomun derecesi eşittir ve aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
Örnek:
Çözüm:
Polinomlarda Toplama Çıkarma
Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Örnek:
Not: Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
Örnek:
Çözüm:
Polinomlarda Çarpma İşlemi
P(x) ile Q(x) çarpılırken, P(x)’in bütün terimleri Q(x) in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir.
Örnek:
Çözüm:
Polinomların Dereceleri ile İlgili İşlemler
der[P(x)]=a, der[Q(x)]=b ve a>b olsun.
Örnek:
Çözüm:
Polinomlarda Bölme
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not: P(a)=0 yapan a değerine polinomun sıfırı denir. Buna dayanarak, P(x) in içinde (x-a) çarpanı vardır, diyebiliriz.
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
POLİNOM KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net n n 1 2 P(x) a x a x … a x a x a n n 1 2 1 0 Şeklinde katsayıların gerçek sayı, üslerin ise doğal sayı olduğu ifadelere bir değişkenli polinom denir. Örnek: 2 3 1 P(x) 2x x ifadesi bir polinomdur. P(x) x 2x ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır. 4 1 2 1 P(x) x 3x 5 ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x x demektir. Üs, doğal sayı olmalıydı. 5 P(x) x 5 ifadesi bir polinom değildir. x 5 Çünkü 5.x demektir. Üs, doğal sayı olmalıydı. x Örnek: 8 5 m 2 m 3 P(x) x x x 5 ifadesi bir polinom ise m ? Çözüm: m 2 x’in üssü doğal sayı olmalıdır. x den dolayı m 2 olmalıdır. 8 ifadesi de bir doğal sayı olmalıdır. m 3 Buna uygun 2’den büyük olan tek m değeri 5 tir. O halde m 5 tir. Polinomun Özellikleri n n 1 2 P(x) a x a x … a x a x a n n 1 2 1 0 Polinomunun katsayıları 0 1 2 n a , a , a , …, a dir. Polinomun terimleri 2 n 0 1 2 n a , a x, a x , …, a x dir. Kuvveti en büyük olan x’in derecesi, polinomun derecesidir ve der[P(x)] ile gösterilir. Bu x’in katsayısı da polinomun başkatsayısıdır. 0 a ise polinomun sabit terimidir. Örnek: 4 3 2 P(x) 3x 2x x 5x 1 Polinomunun katsayıları: 3, -2, 1, 5, 1 dir. Polinomunun derecesi: 4 tür. Polinomun Baş Katsayısı: 3 tür. Sabit Terimi: 1 dir. Tek dereceli terimlerin katsayıları: -2, 5 tir. Çift dereceli terimlerin katsayıları: 3, 1, 1 dir. Not: x=0 yazılarak polinomun sabit terimi, x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur. P(x) in sabit terimi P(0), katsayılar toplamı da P(1) dir. Örnek: 2 P(x) 5x 3x 1 Polinomunun sabit terimi P(0) 5.0 3.0 1 1 dir. Kat sayılar toplamı 2 P(1) 5.1 3.1 1 5 3 1 3 tür. Örnek: 5 P(x) x 2x 3 olduğuna göre, P(x 3) ün katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm: 1 5 x 1 yazılır. P(x 3) P(4) ü bulmalıyız. P(4) 4 2.4 3 1024 8 3 1035 tir. POLİNOM KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net Not: Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı P(1) P( 1) dir. 2 Polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise P(1) P( 1) dir. 2 Örnek: 4 2 P(x) 3x 5x 3x 1 polinomunun Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı: P(1) P( 1) 6 12 9 dur. 2 2 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı: P(1) P( 1) 6 12 3 tür. 2 2 Not: Polinomdaki değişkenlerin katsayıları 0 ise bu bir sabit polinomdur. Örnek: P(x)=5 Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit polinomun sabit değeri 0 ise bu bir sıfır polinomudur. P(x)=0 dır. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. 3 2 75 0.x , 0.x , 0.x gibi sayısız örnekler yazılabildiğinden sıfır polinomunun derecesi belirlenemez. Örnek: 5 3 P(x) (m 2)x (n 2)x 5 ifadesi sabit polinom ise, m.n çarpımı kaçtır? Çözüm: 5 3 0 0 P(x) (m 2)x (n 2)x 5 m 2 ve n 2 olmalıdır. Çarpımları 2.( 2) 4 tür. Not: P(x)=Q(x) ise bu iki polinomun derecesi eşittir ve aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir. Örnek: 2 c P(x) 3x (a 1)x b Q(x) 3x 5x 2 P(x) Q(x) ise a b c toplamı kaçtır? Çözüm: 2 2 5 c 4 2 2 P(x) 3x (a 1)x b Q(x) 3x 5x 2 a b c 4 tür. Polinomlarda Toplama Çıkarma Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Örnek: 2 2 2 2 2 2 P(x) 4x 3x 1 Q(x) 3x 5x olduğuna göre, P(x) Q(x) (4 3)x ( 3 5)x 1 7x 2x 1 dir. P(x) Q(x) (4 3)x ( 3 5)x 1 x 8x 1 dir. Not: Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. Örnek: P(x) bir polinom olmak üzere, P(x 3) P(x 2) 2x 5 ise P(5) kaçtır? POLİNOM KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net Çözüm: 2 5 1 Toplamları 1.dereceden bir polinom olduğunaa göre, P(x) ax b şeklinde bir polinomdur. P(x 3) P(x 2) 2x 5 a(x 3) b a(x 2) b 2x 5 ax 3a b ax 2a b 2x 5 2ax a 2b 2x 5 a 1 dir. a 2b 5 2b 6 b 3 tür. P (x) x 3 tür. P(5) 5 3 2 dir. Polinomlarda Çarpma İşlemi P(x) ile Q(x) çarpılırken, P(x)’in bütün terimleri Q(x) in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir. Örnek: 2 3 P(x) 2x x Q(x) x 5 ise P(x).Q(x) çarpımını bulunuz. Çözüm: 2 3 5 4 2 P(x).Q(x) (2x x)(x 5) 2x x 10x 5x tir. Polinomların Dereceleri ile İlgili İşlemler der[P(x)]=a, der[Q(x)]=b ve a>b olsun. k k der[P(x )] k.a dır. der[P(x) Q(x)] a P(x) der a b dir. Q(x) der[P(x) der[P (x)] k .Q(x)] a b di .a dı . r r . Örnek: 3 2 5 2 2 P(x) x 3x Q(x) x x 3 ise, der[P(x).Q(x)] ? der[P(x ).Q(x)] ? der[P(x) Q(2x)] ? Q(x) der ? P(x) Çözüm: 2 derecesi 1 1.5 5 tir. der[P(x)] 3 tür. der[Q(x)] 5 tir. der[P(x).Q(x)] 3 5 8 dir. der[P(x ).Q(x)] 2.3 5 6 5 11 dir. der[P(x) Q( 2x ) ] 3 ve 5 ten büyük olan 5 tir. Q(x) der 5 3 2 dir. P(x) Polinomlarda Bölme P(x) Q(x) der[P(x)] der[Q(x)] tir. _ B(x) der[K(x)] der[Q(x)] tir. Q(x) 0 dır. K(x) P(x) Q(x).B(x) K(x) tir. K(x) 0 ise P(x), Q(x)’e tam bölünür. Örnek: 3 2 P(x) 3x x 2x 5 polinomunu Q(x) x 1 polinomuna bölelim. POLİNOM KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net Çözüm: 3 2 2 3 2 3 2 2 3x içinde kaç tane x var 3x 2 2x nin içinde kaç tane x var 2x 2 3x x 2x 5 x 1 _ 3x 3x 3x 2x 4 2x 2x 5 _ 2x 2x 4x 5 4x in içinde kaç tane x var 4 3 2 2 Bölünen Bölen Kalan Bölüm _ 4x 4 1 dir. Buna göre, 3x x 2x 5 (x 1)(3x 2x 4) ( 1) dir. Örnek: 2 P(x) x mx n polinomu (x 1) ile bölündüğünde bölüm (x 5) ve kalan 3 ise m.n çarpımı kaçtır? Çözüm: 2 2 m n P(x) (x 1)(x 5) 3 tür. x 6x 5 3 x 6x 8 m.n 6.8 48 dir. Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma b x için a burası 0 olur. P(x) polinomunun (ax b) ile bölümünden kalan b P dır. a P(x) (ax b) .B(x) Kalan Örnek: 2 P(x) x 5x 3 polinomunun (x 2) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. x 2 0 x 2 dir. P(x) polinomunda x yerine 2 yazarak kalanı buluyoruz. P(2) 2 5.2 3 4 10 3 17 dir. Örnek: 2 P(x) x 3x 1 polinomunun (3x 9) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. 3x 9 0 x 3 tür. P(x) polinomunda x yerine 3 yazarak kalanı buluyoruz. P(3) 3 3.3 1 1 dir. Örnek: 3 2 P(x) x 2x ax 5 polinomunu (2x 4) polinomuna tam bölünebiliyorsa a kaçtır? Çözüm: 3 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. 2x 4 0 x 2 dir. Kalan 0 ise, P( 2) 0 olmalıdır. ( 2) 2.( 2) a.( 2) 5 0 8 8 2a 5 0 2a 21 21 a dir. 2 POLİNOM KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net Örnek: 3 P(x 2) x 2 dir. P(x) polinomununun (x 3) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 3 Burayı 3 yapan x değeri 1 dir. 3 x 3 0 x 3 tür. P(x) te x 3 yazacağız. Yani P(3)’ü bulmalıyız. P(x 2) x 2 P(1 2) 1 2 3 tür. Örnek: 3 2 P(2x 1) x 5x 2x 3 tür. P(3x 5) polinomununun (x 2) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 3 2 Burayı 1 yapan x değeri 0 dır. 3 x 2 0 x 2 dir. P(3x 5) te x 2 yazacağız. Yani P(3.2 5) P(1)’i bulmalıyız. P(2x 1) x 5x 2x 3 P(0 1) 0 5.0 2.0 3 3 tür. Not: P(a)=0 yapan a değerine polinomun sıfırı denir. Buna dayanarak, P(x) in içinde (x-a) çarpanı vardır, diyebiliriz. Örnek: 5 P(x) x ax 2 polinomunun sıfırlarından biri 2 ise a kaçtır? Çözüm: 5 P(2) 0 dır. 2 2a 2 0 32 2a 2 0 2a 34 a 17 dir. Örnek: 2 P(x) polinomunun (x 1) ile bölümünden kalan (2x 5) tir. P(x)’in (x 1) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm: 2 2 0 dır. P(x) (x 1).B(x) 2x 5 şeklinde bir polinomdur. x 1 ile bölümünden kalanı bulmak için x 1 yazarız. P( 1) (( 1) 1).B(x) 2.( 1) 5 2 5 3 tür. Örnek: 2 P(x) ve Q(x) polinomları arasında P(3x 8) x x 2 Q(2x 4) 2 bağıntısı bulunmaktadır. P(x)’in (x 1) ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, Q(x 2) polinomunun sabit terimi kaçtır? Çözüm: 3 2 3 3 3 P(x)’in (x 1) ile bölümünden kalan 3 ise P(1) 3 tür. Q(x 2) nin sabit terimi için x 0 yazarız. Q(2) ? Verilen bağıntıda x 3 yazarsak, P(1)’i kullanabiliriz. P(3x 8) x x 2 Q(2x 4) 2 P(1) 9 3 2 Q(2) 2 3 10 Q(2) 2 Q(2) 2 1 3 Q(2) 2 3 10 10 17 Q(2) buluruz. 10
Emeğinize sağlık çok güzel anlatmışsınız.
teşekkür ederim ama word e atınca nedense örnekler ve çözümler kocaman çıkıyor yarım saat onu düzelttim yine de anlatım üslubunuz çok güzel!!!!!
çok güzel anlatmışsınız,teşekkürler 🙂
Çok karışık bir saatir bakıyorum hiçbişey anlamadım
son soruda işlem hatası var cvp -17/10 olmalı.
Uyarınız için teşekkürler. Hata düzeltildi.
Bir şey sorabilir miyim? Polinomların dereceleri kısmında 4.satırda değişik bir ilaret var o ne işareti?
± işareti, artı eksi işaretidir. Toplama ya da çıkarma yapıldığında polinomun derecesi, büyük olanın derecesine eşittir. (Toplama ya da çıkarma farketmez anlamında ± işareti kullanılmıştır.)