Logaritma

Üstel Fonksiyon

a, 1 den farklı pozitif bir reel sayı olsun. \displaystyle f:R\to {{R}^{+}}, \displaystyle f(x)={{a}^{x}} şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir. Burada a sayısı üstel fonksiyonun tabanı ve x üs olarak adlandırılır.

Örnek 1:  \displaystyle f(x)={{3}^{x}} üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?


Açıklaması

3 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla \displaystyle f(x)={{3}^{x}} bir üstel fonksiyondur.

\displaystyle 2{{x}^{{-5}}} üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

Tabandaki sayı sabit bir sayı olmalı, değişken olmamalı. O yüzden üstel bir fonksiyon değildir.

\displaystyle f(x)={{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{{-x}}} üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

\displaystyle f(x)={{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{{-x}}}={{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{x}}

\displaystyle \frac{4}{3} sayısı da pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.

\displaystyle f(x)={{5}^{x}}+2 üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

5 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Ayrıca x değişkeni sadece 5’in üstündedir. 2 ise fonksiyonu 2 birim yukarı öteleyecektir. Üstel bir fonksiyon olmasını engellemez. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.

\displaystyle f(x)={{1}^{x}} üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

Üstel fonksiyonda taban 1 olamaz. Çünkü üstel fonksiyonlar birebir ve örten olmak zorundadır. Tersi logaritmayı oluşturacaktır. 1’in tüm kuvvetleri 1 olduğundan tersi alınması imkansızdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyon değildir.

Üstel Fonksiyonda Artanlık Azalanlık

f(x)={{a}^{x}} şeklinde bir üstel fonksiyonda,

a>1  ise  artan fonksiyon

0<a<1 ise  azalan fonksiyondur.

Not: Üstel fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyonlardır.

 

Örnek 2: \displaystyle f:R\to {{R}^{+}}, \displaystyle y={{4}^{x}} fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı? 

Açıklaması

4 sayısı 1 den büyük olduğu için artan bir fonksiyondur.

\displaystyle f:R\to {{R}^{+}},\displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}} fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı? 

Açıklaması

\displaystyle {\frac{1}{4}} sayısı 0 ile 1 arasında olduğu için azalan bir fonksiyondur.

Örnek 3: \displaystyle f:R\to {{R}^{+}},\text{ }y={{4}^{x}}\text{ }ve\text{  }y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}} fonksiyonlarının birebir ve örten olduğunu grafik çizerek gösteriniz.

Açıklaması

x eksenine çizilen paralel her doğru \displaystyle y={{4}^{x}} fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.

Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada \displaystyle y={{4}^{x}} fonksiyonunu kestiğinden örtendir.

x eksenine çizilen paralel her doğru \displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}} fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.

Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada \displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}} fonksiyonunu kestiğinden örtendir.

Alıştırma-1
Çözüm için Tıklayınız.

LOGARİTMA FONKSİYONU

\displaystyle a>0,\text{ }a\ne 1 olmak üzere, 

\displaystyle f:\text{ R}\to {{\text{R}}^{+}},\text{ }f(x)={{a}^{x}} şeklindeki üstel fonksiyonun tersine logaritma fonksiyonu denir ve \displaystyle {{\log }_{a}}x şeklinde gösterilir.

\displaystyle y={{\log }_{a}}x\text{  }\Leftrightarrow \text{ }x={{a}^{y}}\text{   dir}\text{.}

\displaystyle y={{\log }_{a}}x\text{  } ifadesinde \displaystyle y\in \mathbb{R} sayısına \displaystyle x\in {{\mathbb{R}}^{+}} sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

Örnek 4: \displaystyle {{\text{2}}^{x}}=5 ise x ‘i logaritma cinsinden ifade ediniz.

Cevabı Gör

\displaystyle x={{\log }_{2}}5  dir.

\displaystyle {{\text{3}}^{{x+1}}}=7 ise x ‘i logaritma cinsinden ifade ediniz.

Cevabı Gör

\displaystyle x+1={{\log }_{3}}7

\displaystyle x={{\log }_{3}}7-1  dir.

\displaystyle {{\log }_{3}}x=2 ise x kaçtır?

Cevabı Gör

\displaystyle x={{3}^{2}}

\displaystyle x=9  dur.

\displaystyle {{\log }_{x}}64=3 ise x kaçtır?

Cevabı Gör

\displaystyle {{x}^{3}}=64

\displaystyle {{x}^{3}}={{4}^{3}}

\displaystyle x=4  tür.

Logaritmanın Tanımlı Olması İçin

\displaystyle {{\log }_{a}}\text{x} fonksiyonunda

\displaystyle a>0\text{ } ve \text{ }a\ne 1 olmalı. Ayrıca,

\displaystyle x>0  olmalıdır.

Örnek 5: \displaystyle f(x)={{\log }_{{(3-x)}}}(x-1) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralığı bulunuz.

Çözüm için Tıklayınız.

\displaystyle x-1>0\text{ }\Rightarrow \text{ }x>1 olmalı

\displaystyle 3-x>0\text{ }\Rightarrow \text{ }-x>-3\text{ }\Rightarrow \text{ }x<3 olmalı

\displaystyle 3-x\ne 1\text{ }\Rightarrow \text{ x}\ne 2

Buna göre, tanım aralığı \displaystyle \text{(1}\text{, 3)}-\left\{ 2 \right\} dir.

 

Alıştırma-2
Çözüm için Tıklayınız.

Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

Yukarıdaki örneklerden anlaşılacağı üzere {{\log }_{a}}(x-b) fonksiyonu,

a>1 için artan

0<a<1 için azalan bir fonksiyondur.

Ayrıca x-b=0 yapan x=b değerinde fonksiyon \mp \infty a doğru gider. 

x-b=1 yapan x değerinde de fonksiyon x eksenini keser. Çünkü 0 dışındaki tüm sayıların 0’ıncı kuvveti 1 dir.

Tüm ters fonksiyonlarda olduğu gibi, logaritma ile tersi olan üstel fonksiyonun grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.

Alıştırma-3
Çözüm için Tıklayınız.
Alıştırma-4
Çözüm için Tıklayınız.