Logaritma Konu Anlatımı

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla

Üstel Fonksiyon

a, 1 den farklı pozitif bir reel sayı olsun. $\displaystyle f:R\to {{R}^{+}}$ , $\displaystyle f(x)={{a}^{x}}$ şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir. Burada a sayısı üstel fonksiyonun tabanı ve x üs olarak adlandırılır.

Örnek 1: $\displaystyle f(x)={{3}^{x}}$ üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

3 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla $\displaystyle f(x)={{3}^{x}}$ bir üstel fonksiyondur.

$\displaystyle 2{{x}^{{-5}}}$ üstel fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

Tabandaki sayı sabit bir sayı olmalı, değişken olmamalı. O yüzden üstel bir fonksiyon değildir.

$\displaystyle f(x)={{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{{-x}}}$ üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

$\displaystyle f(x)={{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{{-x}}}={{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{x}}$

$\displaystyle \frac{4}{3}$ sayısı da pozitif ve 1 den farklıdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.

$\displaystyle f(x)={{5}^{x}}+2$ üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

5 sayısı pozitif ve 1 den farklıdır. Ayrıca x değişkeni sadece 5’in üstündedir. 2 ise fonksiyonu 2 birim yukarı öteleyecektir. Üstel bir fonksiyon olmasını engellemez. Dolayısıyla üstel bir fonksiyondur.

$\displaystyle f(x)={{1}^{x}}$ üstel bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

Üstel fonksiyonda taban 1 olamaz. Çünkü üstel fonksiyonlar birebir ve örten olmak zorundadır. Tersi logaritmayı oluşturacaktır. 1’in tüm kuvvetleri 1 olduğundan tersi alınması imkansızdır. Dolayısıyla üstel bir fonksiyon değildir.

Üstel Fonksiyonda Artanlık Azalanlık

$f(x)={{a}^{x}}$ şeklinde bir üstel fonksiyonda,

$a>1$ ise artan fonksiyon

$0<a<1$ ise azalan fonksiyondur.

Not: Üstel fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyonlardır.

Örnek 2: $\displaystyle f:R\to {{R}^{+}}$ , $\displaystyle y={{4}^{x}}$ fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

4 sayısı 1 den büyük olduğu için artan bir fonksiyondur.

$\displaystyle f:R\to {{R}^{+}}$ , $\displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}}$ fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. Doğru mu? Yanlış mı?

Açıklaması

$\displaystyle {\frac{1}{4}}$ sayısı 0 ile 1 arasında olduğu için azalan bir fonksiyondur.

Örnek 3: $\displaystyle f:R\to {{R}^{+}},\text{ }y={{4}^{x}}\text{ }ve\text{ }y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}}$ fonksiyonlarının birebir ve örten olduğunu grafik çizerek gösteriniz.

Açıklaması

x eksenine çizilen paralel her doğru $\displaystyle y={{4}^{x}}$ fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.

Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada $\displaystyle y={{4}^{x}}$ fonksiyonunu kestiğinden örtendir.

x eksenine çizilen paralel her doğru $\displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}}$ fonksiyonunun grafiğini en çok bir noktada kestiğinden f bire birdir.

Yatay doğru testi ile değer kümesinin içinde çizilen yatay doğrular her noktada $\displaystyle y={{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{x}}$ fonksiyonunu kestiğinden örtendir.

Alıştırma-1

Çözüm için Tıklayınız.

LOGARİTMA FONKSİYONU

$\displaystyle a>0,\text{ }a\ne 1$ olmak üzere,

$\displaystyle f:\text{ R}\to {{\text{R}}^{+}},\text{ }f(x)={{a}^{x}}$ şeklindeki üstel fonksiyonun tersine logaritma fonksiyonu denir ve $\displaystyle {{\log }_{a}}x$ şeklinde gösterilir.

$\displaystyle y={{\log }_{a}}x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x={{a}^{y}}\text{ dir}\text{.}$

$\displaystyle y={{\log }_{a}}x\text{ }$ ifadesinde $\displaystyle y\in \mathbb{R}$ sayısına $\displaystyle x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.