Logaritma Konu Anlatımı

1.sayfaya dönmek için tıklayınız.

Onluk Logaritma Fonksiyonu

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu (bayağı logaritma) denir.

$f(x)={{\log }_{{10}}}x=\log x$ şeklinde yazılır.

Örnek 6:

$\log 10=1$

$\log 1000=\log {{10}^{3}}=3$

$\log \frac{1}{{10}}=\log {{10}^{{-1}}}=-1$

$\log \frac{1}{{100}}=\log {{10}^{{-2}}}=-2$

Örnek 7:

$\log 1=?,\text{ }\log =100=?,\text{ }\log \frac{1}{{1000}}=?$

Cevabı Gör

$\log 1={{10}^{0}}=0$

$\log 100=\log {{10}^{2}}=2$

$\log \frac{1}{{1000}}=\log {{10}^{{-3}}}=-3$ tür.

Doğal Logaritma

e $\cong$ 2,71828182845… olup bu sayı irrasyoneldir. Matematik, kimya, iktisat, istatistik gibi alanlarda kullanılmaktadır.

Tabanı e olan logaritma fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu denir.

$f(x)={{\log }_{e}}x=\ln x$ şeklinde yazılır.

Örnek 8:

$\ln e=1$

$\ln {{e}^{2}}=2$

$\ln 1=0$ dır.

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

$her\text{ a}\in {{\mathbb{R}}^{+}}-\{-1\}\text{ olmak }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ zere}\text{, lo}{{\text{g}}_{a}}a=1\text{ dir}\text{.}$

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

$her\text{ a}\in {{\mathbb{R}}^{+}}-\{-1\}\text{ olmak }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ zere}\text{, lo}{{\text{g}}_{a}}1=0\text{ d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}$

Örnek 9:

$3{{\log }_{{\sqrt{3}}}}1+{{\log }_{9}}1+{{\log }_{{72}}}72=?$

Cevabı Gör

$3\underbrace{{{{{\log }}_{{\sqrt{3}}}}1}}_{0}+\underbrace{{{{{\log }}_{9}}1}}_{0}+\underbrace{{{{{\log }}_{{72}}}72}}_{1}=0+0+1=1$ dir.

Alıştırma-5

Çözüm için Tıklayınız.

Logaritmada üslerin başa çarpan olarak gelmesi

$\displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{m}}=m.\text{lo}{{\text{g}}_{a}}\text{b dir}\text{.}$

$\displaystyle {{\log }_{{{{a}^{n}}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot \text{lo}{{\text{g}}_{a}}\text{b dir}\text{.}$

Örnek 10:

${{\log }_{2}}32={{\log }_{2}}{{2}^{5}}=5{{\log }_{2}}2=5.1=5$

${{\log }_{3}}27={{\log }_{3}}{{3}^{3}}=3{{\log }_{3}}3=3.1=3$

${{\log }_{5}}\frac{1}{{25}}={{\log }_{5}}{{5}^{{-2}}}=-2$ dir.

${{\log }_{{64}}}16={{\log }_{{{{2}^{6}}}}}{{2}^{4}}=\frac{4}{6}{{\log }_{2}}2=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}$ tür.

$\displaystyle {{\log }_{{0,1}}}100={{\log }_{{{{{10}}^{{-1}}}}}}{{10}^{2}}=\frac{2}{{-1}}{{\log }_{{10}}}10=-2.1=-2$

${{\log }_{{\sqrt{2}}}}\sqrt[4]{8}={{\log }_{{{{2}^{{\frac{1}{2}}}}}}}\sqrt[4]{{{{2}^{3}}}}={{\log }_{{{{2}^{{\frac{1}{2}}}}}}}{{2}^{{\frac{3}{4}}}}=\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{1}{2}}}{{\log }_{2}}2=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}{{\log }_{2}}2=\frac{3}{2}$ dir.

Örnek 11:

$\displaystyle \text{ln}\sqrt{e}+\log \sqrt[3]{{0,1}}-{{\log }_{{64}}}2=?$

Cevabı Gör

$\displaystyle \ln {{e}^{{\frac{1}{2}}}}+\log \sqrt[3]{{{{{10}}^{{-1}}}}}-{{\log }_{{{{2}^{6}}}}}{{2}^{1}}$

$\displaystyle \frac{1}{2}+\log {{10}^{{-\text{ }\frac{1}{3}}}}-\frac{1}{6}$

$\displaystyle \underset{{(3)}}{\mathop{{\frac{1}{2}}}}\,-\underset{{(2)}}{\mathop{{\frac{1}{3}}}}\,-\frac{1}{6}$

$\displaystyle \frac{3}{6}-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=0$ buluruz.

Alıştırma-6

Çözüm için Tıklayınız.

Logaritma içinde Çarpma Bölme

$\displaystyle {{\log }_{a}}(x.y)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y$

$\displaystyle {{\log }_{a}}\left( {\frac{x}{y}} \right)={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y$ dir.

Örnek 12:

$\displaystyle \log 25+\log 4=\log (25.4)=\log 100=\log {{10}^{2}}=2$ dir.

$\displaystyle {{\log }_{5}}150-{{\log }_{5}}30={{\log }_{5}}\left( {\frac{{150}}{{30}}} \right)={{\log }_{5}}5=1\text{ }$ dir.

$\displaystyle \text{lo}{{\text{g}}_{{12}}}36+{{\log }_{{12}}}4={{\log }_{{12}}}\left( {36.4} \right)={{\log }_{{12}}}144={{\log }_{{12}}}{{12}^{2}}=2$ dir.

$\displaystyle 1-\log 2=\log 10-\log 2=\log \left( {\frac{{10}}{2}} \right)=\log 5$ tir.

Örnek 13:

$\displaystyle \frac{{\log 2+\log 5}}{{\log 200-\log 2}}=?$

Çözüm için Tıklayınız.

$\displaystyle \frac{{\log 2+\log 5}}{{\log 200-\log 2}}=\frac{{\log (2.5)}}{{\log \left( {\frac{{200}}{2}} \right)}}=\frac{{\log 10}}{{\log 100}}=\frac{1}{2}$ dir.