Kombinasyon

Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla

r, n ∈ N ve r≤n  olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, C(n, r) ya da \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right) ile gösterilir.


\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\frac{{n!}}{{(n-r)!.r!}}  dir.

Not: Permütasyonda sıralama önemli iken, Kombinasyonda sıralama önemli değildir. Örneğin, a-b ve b-a şeklinde sıralama permütasyonda iki farklı durum iken; {a, b} ve {b, a} kümeleri kombinasyon için aynı durumdur. Çünkü ikisi de aynı kümedir.

Bu sebeple, \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\frac{{P(n,\text{ r})}}{{r!}} dir.

Örnek:  \left( \begin{array}{l}8\\2\end{array} \right)=?

Çözüm için Tıklayınız.

\left( \begin{array}{l}8\\2\end{array} \right)=\frac{{8.7}}{{2!}}=\frac{{56}}{2}=28 dir.

Örnek: \left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=?

Çözüm için Tıklayınız.

\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\frac{{4.3}}{{2.1}}+\frac{{4.\cancel{{3.2}}}}{{\cancel{{3.2}}.1}}=6+4=10 dur.

Alıştırma 1
Çözüm

Kural:  \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\n-r\end{array} \right)  dir.

Mesela, \left( \begin{array}{l}8\\3\end{array} \right) ile \left( \begin{array}{l}8\\5\end{array} \right) birbirine eşittir. 

Bu sebeple \left( \begin{array}{l}n\\a\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}n\\b\end{array} \right) eşitliğini gördüğümüzde iki ihtimal düşüneceğiz: a=b olabilir ya da a+b=n olabilir.

Örnek: \left( \begin{array}{l}5\\2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\a\end{array} \right) ise a’nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözüm

a=2 ya da a=5-2=3 olabilir. Bu değerleri çarparsak 2.3=6 buluruz.

Alıştırma 2
Çözüm

Kural: \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right)+...+\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)={{2}^{n}} dir.

Bunu kümeler gibi düşünebiliriz. 

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı {{2}^{n}} dir.

Boş küme alt kümesidir. \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)

1 elemanlı alt küme sayısı \left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right) dir.

2 elemanlı alt küme sayısı \left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right) dir.

Kendisi de bir alt kümedir. \left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right) dir.

Dolayısıyla bu alt kümelerin toplamı {{2}^{n}} i vermek zorundadır.

 

Örnek:  \left( \begin{array}{l}7\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\4\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\5\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\6\end{array} \right)=?

Çözüm

{{2}^{7}}=\left( \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right)+\underbrace{{\left( \begin{array}{l}7\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\4\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\5\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}7\\6\end{array} \right)}}_{{Sorulan\text{ K }\!\!\imath\!\!\text{ s }\!\!\imath\!\!\text{ m}\text{, Buraya x diyelim}\text{.}}}+\left( \begin{array}{l}7\\7\end{array} \right)

128=\left( \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right)+x+\left( \begin{array}{l}7\\7\end{array} \right)

128=1+x+1

x=126   buluruz.

Not: \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)=1,\text{ }\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)=n,\text{ }\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\n-1\end{array} \right)=n,\text{ }\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)=1 dir.

Kural: \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\r+1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}n+1\\r+1\end{array} \right) dir.

Örnek: \left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\3\end{array} \right) eşit midir? İnceleyelim.

\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)=\frac{{4.3}}{{2.1}}=6 dır.

\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right)=4 tür.

Toplamları 6+4=10 yapar.

\left( \begin{array}{l}5\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\2\end{array} \right)=\frac{{5.4}}{{2.1}}=10 dur, eşitliği sağlar.

Alıştırma 3
Çözüm
Alıştırma 4
Çözüm
Alıştırma 5
Çözüm
Alıştırma 6
Çözüm
Alıştırma 7
Çözüm
Alıştırma 8
Çözüm
Alıştırma 9
Çözüm