Süreklilik

Bu bölümde Süreklilik ile ilgili 15 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…

 

1.SORU

Çözüm için Tıklayınız.


2.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

3.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

4.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

5.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

6.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

7.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

8.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

9.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

10.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.

 

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

SÜREKLİLİK www.matematikkolay.net 1) Yukarıdaki şekilde R de tanımlı y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonu kaç noktada süreksizdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: Tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyonu, kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak fonksiyon süreklidir. Tanımlı olduğu aralıkta kalemi kaldırdığımız noktalar – da ise fonksiyon süreksizdir (sürekli değildir. Not : ). Şekildeki f(x) fonksiyonu R’de tanımlanmış. Bu sebeple her noktada sürekliliği inceleyebiliriz. x 5 noktasındaki değerin farklı olması sürekliliği bozmuş. x 2 noktasında ise bir kopma olmuş x a x a . x 3 noktasında da bir kopma olmuş. Bunun dışındaki tüm noktalarda sürekli gözüküyor. 3 noktada sürekli değildir. Cevap : C f(x) fonksiyonu x a da sürekli ise, lim f(x) f(a) lim f(x) eşitliğini Not : sağlar. 2) Yukarıdaki şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafik￾leri ve tanımlı olduğu aralıklar verilmiştir. Buna göre, x 2 noktasında g(x) sürekli iken, f(x) süreksizdir. x 4 noktasında her iki fonks I. II. iyon da süreklidir. f(x) sürekli iken, g(x) bir noktada süreksizdir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnız I E) Yalnız II III. ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net x 2 x 2 g(x) fonksiyonu x 2 noktasında süreklidir. Çünkü lim g(2) lim eşitliğini sağlayabiliyor. Şimdi f(x) i inceleyelim. Tanımlı olmayan noktada süreklilik inceleye- meyiz. O y I. öncül: Not : üzden bu noktalarda süreksizdir, demek hatalıdır. Buna göre, f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu tüm aralık￾larda süreklidir. (x 2 noktasında tanımlı olmadığı için süreklilik incelemesi yapılmaz. Yoktur ya da vardır denmez.) öncül hatalıdır. Hem f(x), hem de g(x) fonksiyonu x=4 te süreklidir. Çünkü bu noktada hem limitlidirler hem de limitleri x 4 noktas ındaki değere eşittir. II. öncü I. II. öncül: l doğru. f(x) in sürekli olduğunu I. öncülde söylemiştik. g(x) ise x 3 noktasında sürekli değildir. x 1 noktasında tanımlı olmadığı için süreklilik incelenemez. Bu sebeple bir noktada süreksizd III. öncül: ir. III. öncül doğru Cevap: C 3) a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, 2x 1 x a f(x) 7 a x b 25 2x x b fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu R’de sürekli b olduğuna göre, kaçtır? a 3 5 7 9 A) B) C) D) 2 E) 2 3 4 4 ÇÖZÜM: x a x a R’de sürekli ise her noktadaki limiti, o noktadaki değerine eşit olmalıdır. x a noktası ile başlayalım. lim f(a) lim eşitliğini sağlamalıdır. 2a 1 7 7 a 4 olmalıdır. x b noktası ile dev x b x b 7 25 2b 18 2b 9 b am edelim. lim f(b) lim eşitliğini sağlamalıdır. 7 25 2b 25 2b b 9 olmalıdır. b 9 Buna göre, buluruz. Cevap : E a 4 4) 2 2 a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, 12 2x 3x 5 f(x) ve g(x) 2x 3 3x 7 x ax b fonksiyonlarının sürekli olduğu en geniş tanım kümeleri birbirine eşit ise, a b kaçtır? A) 2 B) 6 C) 8 D) 12 E) 14 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net İki fonksiyonun da paydasını 0 yapacak değerlerde, tanımsız olacaklardır. Onun dışındaki tüm noktalarda tanımlı ve sürekli olurlar. f(x) i tanımsız yapan x değerlerini bulalım. 2x 3 3x 7 0 2x 3 3x 7 2x 3 3x 2 7 veya 2x 3 3x 7 x 4 5x 10 x 4 x 2 g(x) i de tanımsız yapan x değerleri aynı olmalıdır. x ax b (x 4)(x 2) ol 2 2 malıdır. x ax b x 6x 8 Buna göre, a 6 ve b 8 dir. a b 6 8 2 buluruz. Cevap: A 5) 2 2x 3 f(x) fonksiyonu her x gerçel sayısı için 3x kx 8 sürekli olduğuna göre, k’nın alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? A) 12 B) 15 C) 16 D) 19 E) 20 ÇÖZÜM: 2 2 2 2 2 Payda 0 olmamalıdır. O halde, 3x kx 8 0 denkleminin gerçek kökü olmamalıdır. Yani, 0 olmalıdır. b 4ac 0 k 4.3.8 0 k 96 0 k 96 k’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri 9 dur. En küçüğü de 9 dur. Ter im Sayısı 9 ( 9) 1 19 buluruz. Cevap : D 6) 2 a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, 2a b x 4 f(x)= ax bx 48 x 4 x 4 fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu R’de sürekli olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18  ÇÖZÜM: 2 x 4 f(x) fonksiyonu her yerde sürekli ise, x 4 te de sürekli olmalıdır. O halde, x 4 noktasında limiti vardır. ax bx 48 16a 4b 48 lim olur. x 4 0 0 Limitin olabilmesi için, belirsizliği olmalıdır. 0 Y 12 4a 2 2 x 4 x 4 x 4 x 4 ani, pay 0 olmalıdır. 16a 4b 48 0 her tarafı 4’e bölelim. 4a b 12 0 b 12 4a dır. Yerine yazalım. ax b x 48 ax 4ax 12x 48 lim lim x 4 x 4 ax(x 4) 12(x 4) (x 4) lim lim x 4 (ax 12) x 4 x 4 12 4a lim (ax 12) 4a 12 dir. x 4 noktasında süreklilik varsa, f(4) 4a 12 eşitliği sağlanmalıdır. 2a b 4a 12 2a 12 4a 4a 12 6a 12 4a 12 2a 24 a 12 buluruz. Cevap : C 7) www.matematikkolay.net 2 2 x x 2 x 2 x 2 f(x) x 3x 1 2 x 4 11 2x x 4 5 x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, tanımlı olduğu en geniş aralıkta f(x) fonksiyonu ile ilgili olarak aşağıdaki şıklardan hangisi doğrudur? A) f(x) f onksiyonu süreklidir. B) f(x) fonksiyonu 3 noktada süreksizdir. C) f(x) fonksiyonu sadece x 2 noktasında sürekli değildir. D) x 5 noktasında tanımsız olduğu için f(x) sürekli değildir. E) f(x) fon ksiyonu x 2 noktasında sürekli olup, x 4 noktasında sürekli değildir. ÇÖZÜM: x 2 x 2 Aynı x 2 için inceleyelim. dan 2 ye kadar tanımsız yapacak bir x değeri yok. Sürekliliği bozacak bir durum da yok. Ancak x 2 noktasındaki sürekliği inceleyelim. lim f(2) lim eşitliği sağlan 2 ? 2 x 2 2 2 içerisi negatif x 2 abiliyor mu? x x 2 lim x 3x 1 x 2 (x 2) lim (x 1) (x 2) ? ? ? 4 6 1 2 1 3 1 3 3 eşit. Bu sebeple x 2 noktasında süreklidir. 2 x 4 aralığında fonksiyon, bir polinom fonksi￾yondur. Polinom fonksiyonlar, reel sayılarda süreklidir. Bu sebeple 2 x 4 aralığı Not : x 4 x 4 Aynı ? 2 ? ? nda süreklidir. x 4 noktasını inceleyelim. lim f(4) lim eşitliği sağlanabiliyor mu? 11 2.4 4 3.4 1 5 4 11 8 16 12 1 1 3 3 tür. Bu sebeple x 4 noktasında da süreklidir. 11 x 5 noktası, 2x kesrinin paydasını 0 yaptığı 5 x için burada tanımsızdır. Dolayısıyla x=5 değeri tanım kümesinin içinde yer alamaz. Burada da süreklilik incelenmez. O halde, f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta süre klidir. Cevap : A www.matematikkolay.net 8) Yukarıdaki şekilde y f(x) fonksiyonunun grafiği veril￾miştir. Buna göre, f(x) fonksiyonun limitinin olduğu halde sürekli olma￾dığı noktalardaki ordinatların toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9 ÇÖZÜM: x 0 Kritik noktalara bakalım. x 5 te tanımlı değil. Süreklilik incelenmez. x 3 te limit yok. (Sağdan ve soldan limitler farklı) x 0 da limit var. lim 3 tür. Ancak tür. Farklı olduğu f(0) = 4 x 6 için, sürekli değildir. x 3 te limit yok. (Sağdan ve soldan limitler farklı) x 6 da limit var. lim 4 tür. Ancak dir. Farklı olduğu için, sürekli değildir. Bunlar dışında fonksiyon s f(6) = 2 üreklidir. Sorunun istediği noktalarda ordinatlar toplamı 4 2 6 d ır. Cevap: C 9) 6 x x 3 f(x) fonksiyonunun sürekli olduğu x 5 en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (3, 6) B) [3, 6] C) (3, 5) (5, 6) D) [3, 5) (5, 6] E) R {5} ÇÖZÜM: Süreklilik için ilk önce tanım kümesini bulalım. 6 x x 6 olmalı. x 3 x 3 olmalı. Payda 0 olmamalı x 5 olamaz. O halde, tanım kümesi [3, 5) (5, 6] dır. Tanım kümesinin içinde sürekliliği boza cak bir durum yok. Uç noktalardaki süreklilik için tek taraflı limitin fonksiyonun değerine eşit olması yeterlidir. Çünkü, uç noktalarda çift taraflı limit arayamayız. Buna göre, uç noktalarda da sür Not : eklilik vardır. O halde, sürekli olduğu en geniş aralık [3, 5) (5, 6] aral ığıdır. Cevap: D 10) 2 2 x x 1 Yukarıdaki şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafik￾leri ve tanımlı olduğu aralıklar verilmiştir. Buna göre, f(x) x 4 g(x) ln(x 4x 5) h(x) 5 fonksiyonlarından hangileri reel sayılar I. II. III. da süreklidir? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnız I E) Yalnız II ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 f(x) fonksiyonu sürekli ise, f(x) de süreklidir. x 4 fonskiyonu polinom fonksiyon olduğu için reel sayılarda süreklidir. x 4 ifadesi de sürekli olacaktır. Logaritmanın içi pozitif olmalı. x 4x 5 Not : 2 2 ifadesinde ya bakalım. b 4ac 16 4.1.5 16 20 4 tür. Yani kökü yoktur. Başkatsayısı da pozitif olduğu için daima pozitiftir. O halde, ln(x +4x+5) ifadesi de reel sayılarda süreklidir. x ifadesinde x x 1 x x 1 1 değeri tanım kümesinde olamaz. Bu sebeple 5 reel sayılarda sürekli değildir. Cevap: A

Yorum yapın