Bu bölümde Polinom Fonksiyonların Grafikleri ile ilgili 7 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ www.matematikkolay.net 1) 3 Reel sayılarda tanımlı f(x) 9x x fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şıkların hangisinde doğru göste – rilmiştir? ÇÖZÜM: Fonkisyonların grafikleri çizilirken, Tanım aralığına dikkat edilmelidir. Polinom fonk – siyonlarda, aksi belirtilmedikçe tanım kümesi tüm reel sayılardır. Eksenleri kesen noktalar Not : 1. 2. belirlenir. Hem x 0 için y değeri, hem de y 0 ı sağlayan x değerleri bulu- nur. Türev yardımıyla, işaret tablosu oluşturulur. Buna bakılarak ar tanlık, azalanlık durumları ve ekstrem 3. 3 2 um noktaları belirlenir. Buna göre, eksenleri kesen noktalarla başlayalım. 9x x 0 x(9 x ) 0 x(3 x)(3 x) 0 x eksenini x 3,0 ve 3 te keser. Hepsi tek katlı köktür. Tek katlı kökler x eksenini kese Not : 3 rek diğer tarafa geçer. Ancak, çift katlı kökler x eksenine teğet olur ve karşı tarafa geçmezler. x 0 için f(x)=9.0 0 0 0 0 dır. O halde, f(x) orjinden geçecektir. Bir de türevini inceleyelim. f'(x)=9 3x 2 2 2 3 3 dir. 0 yapan değerleri bulalım. 9 3x 0 3(3 x ) 0 x 3 ve 3 tür. f( 3) 9.( 3) ( 3) 9 3 3 3 6 3 tür. f( 3) 9.( 3) ( 3) 9 3 3 3 6 3 tür. Şimdi işaret tablosu yapalım. En büyük dereceli terim negatif olduğu için sağdan ile başlayacağız. www.matematikkolay.net Şimdi grafiği çizebiliriz. x dan 3 e doğru sürekli azalarak gelecek. Bu arada x 3 te x eksenini kesecektir. ( 3, 6 3) noktası yerel minimum olacaktır. x= 3 ten 3 e doğru sürekli artarak gidecek. Bu ar ada orjinden geçecektir. ( 3, 6 3) noktası yerel maksimum olacaktır. x 3 ten sonra ise sürekli azalacaktır. Bu azalma sırasında da x eksenini 3 te kesecektir. Cevap: D 2) 3 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) x 2x 4x 8 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şıklardan hangisi olabilir? ÇÖZÜM: 3 2 2 2 2 Eksenleri kesen noktalarla başlayalım. x 2x 4x 8 0 x (x 2) 4(x 2) 0 (x 2)(x 4) 0 (x 2)(x 2)(x 2) 0 (x 2) (x 2) 0 x 2 çift katlı kök (x eksenine teğet olacak) x 2 tek katlı kök x 0 için f(x) 0 0 0 8 8 di 2 2 3 x 2 x 2 2 x 2 x 3 r. y eksenini 8 de kesecektir. Bir de türevini inceleyelim. f'(x) 3x 4x 4 0 yapan değerleri bulalım. 3x 4x 4 0 (3x 2)(x 2) 0 (Bu noktalardaki fonksiyonun değeri şıklarda verilmemiş . Bu sebeple değer bulmayla uğraşmayacağız.) Şimdi işaret tablosu yapalım. En büyük dereceli terim pozitif olduğu için sağdan ile başlayacağız. Şimdi grafiği çizebiliriz. 2 x dan e doğru sürekli artarak gelecek. 3 Bu arada x 2 de x eksenini kesecektir. 2 x= ten 2 ye doğru sürekli azalarak gidecek. 3 x 2 de x eksenine teğet olacak. x 2 den sonra ise sürekli artacaktır. Cevap: B www.matematikkolay.net 3) 2 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) (x 1)(x 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şıklardan hangisi olabilir? ÇÖZÜM: 2 3 3.derece Eksenleri kesen noktalarla başlayalım. (x 1)(x 1)(x 1) 0 (x 1)(x 1) 0 x 1 ve x 1 tek katlı köktür. x 0 için f(x) ( 1)(1) 1 dir. y eksenini 1 de kesecektir. Bir de türevini inceleyelim. (x 1)(x 3 3 3 3 2 2 2 2 1) ‘ (x 1)’.(x 1) (x 1) (x 1) ‘ 1.(x 1) (x 1).3(x 1) .1 (x 1) (x 1) 3(x 1) (x 1) (x 1 3x 3) (x 1) (4x 2) dir. 0 yapan değerler, 1 x 1 (çift katlı) ve x dir. 2 Şimdi işaret tablosu yapalım. En büyük derecel i terim pozitif olduğu için sağdan ile başlayacağız. www.matematikkolay.net Şimdi grafiği çizebiliriz. x dan 1 e doğru sürekli azalarak gelecek. Bu noktada x eksenini kesecek. Çünkü f(x) in bir köküydü. Herhangi bir ekstremum nokta olmadan, x 1 den sonra da azalmaya devam ede cektir. y eksenini ise 1 de kesecektir. 1 x den sonra ise artmaya başlayacak ve bu 2 şekilde devam edecektir. Bu artma sırasında da x eksenini 1 de kesecektir. Cevap : E 4) Yukarıdaki şekilde, grafiği verilen f(x) fonksiyonu 3.dereceden bir polinomdur. Buna göre f(x), y ekse – nini hangi değerde keser? A) 288 B) 296 C) 312 D) 324 E) 336 ÇÖZÜM: 2 f(x), x eksenine 6 noktasında teğet ve x eksenini başka bir noktada daha kesiyor. Polinomun başkatsayısına da a dersek, f(x) a(x 6) (x b) olarak ifade edebiliriz. Şimdi türevine bakalım. f'(x) 2a(x 2 6)(x b) a(x 6) .1 a(x 6) 2(x b) (x 6) a(x 6)(2x 2b x 6) a(x 6)(3x 2b 6) dır. x 4 için f'(x) 0 olmalıdır. Çünkü burada ekstremum nokta vardır. a( 4 6)(3( 4) 2b 6) 0 a.( 10).( 12 2b 6) 0 olmalıdır. 2 2 2 0 a.( 10).( 18 2b) 0 b 9 dur. O halde, f(x) a(x 6) (x 9) dur. ( 4, 500) noktasından yararlanırsak 500 a( 4 6) .( 4 9) 500 a.100.5 a 1 dir. Buna göre, f(x) (x 6) (x 9) dur. f(0) ( 6) 2 .9 36.9 324 buluruz. Cevap : D 5) Yukarıdaki şekilde, grafiği verilen f(x) fonksiyonu 3.dereceden bir polinomdur. 4 b d olduğuna göre, a c e toplamı kaçtır? 3 A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 f(x) k(x a)(x c)(x e) şeklinde bir polinomdur. f'(x) k (x c)(x e) (x a)(x e) (x a)(x c) f'(x) k[x (c e)x ce x (a e)x ae x (a c)x ac ] dir. f'(x) 3x 2(a c e)x ce ae ac d ir. f'(x) 0 denkleminin kökleri, ekstremum noktaların 4 apsisleridir. Bunların toplamının olduğunu 3 biliyoruz. O halde, 2(a c e) 4 olmalıdır. a c e 2 dir. 3 3 Cevap : A 6) 7 5 f : R R olmak üzere f(x) x x 3x 1 fonksiyonunun kaç farklı reel kökü vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 7 ÇÖZÜM: 6 4 Normalde bir denklemi sıfıra eşitleyerek, köklerini bulabilir. Ancak, bu denklemi çözmek biraz zor. Onun yerine f(x) in türevine bakıp, fikir edinmeye çalışalım. f'(x) 7x 5x 3 tür. x lerin üsleri çift olduğu için bu ifade kesinlikle pozitiftir. Yani, f'(x) 0 olduğu için f(x) daima ar tandır. Sürekli artan bir fonksiyon sonsuzdan, sonsuza kadar tüm değerleri alır. Bu esnada, x eksenini sadece 1 kere kes er. Bu nedenle, f(x) in sadece 1 tane farklı reel kökü vardır. Cevap: B Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıdan bakabilirsiniz : 7) 3 2 f :R R ve a bir reel sayı olmak üzere, f(x) x ax 12x 9 fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) 1 C) 0 D) 5 E) 7 ÇÖZÜM: Reel sayılarda tanımlı ya da fonksiyonlar birebir ve örten fonksiyon olurlar. Reel sayılarda tanımlı bir fonksiyonun daima artan ya da daima azalan olma Not : daima artan daima azalan 2 2 2 2 sı için bir fonksiyonun ekstremum noktası olmamalıdır. Bunun için, türevinin tek katlı kökü olmamalıdır. Buna göre, f'(x) için 0 olmalıdır. f'(x) 3x 2ax 12 dir. 0 olmalı 4a 4.3.12 0 4a 144 0 4a 14 2 4 a 36 6 a 6 dır. Buna göre, E şıkkındaki 7 değeri olamaz. Cevap : E Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıdan bakabilirsiniz : www.matematikkolay.net
