Bu bölümde İntegralde Alan ile ilgili 18 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
1.SORU
 |  |  |  |  |
Çözüm için Tıklayınız.
2.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
3.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
4.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
5.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
6.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
7.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
8.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
9.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
10.SORU
| | | | | |
Çözüm için Tıklayınız.
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
İNTEGRALDE ALAN – 2.KISIM www.matematikkolay.net 1) 2 3 2 Yukarıdaki grafikte verilen f(x) 3x 2 ve g(x) 4x 2 fonksiyonları arasında x 1 ve x 1 doğruları ile sınırlandırılmış kapalı bölgenin alanı kaç br dir? A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18 ÇÖZÜM: b a [a, b] kapalı aralığında f(x) g(x) ise İki fonksiyon arasındaki alan f(x) g(x) dx integrali ile bulunur. Yani, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarıp integral alaca Not : 1 2 3 1 1 3 2 1 1 4 3 1 2 ğız. (x ekseninin altında olması bu durumu değiştirmez.) Buna göre, Alan 3x 2 ( 4x 2) dx 4x 3x 4 dx x x 4x 1 1 4 1 1 4 6 ( 4) 10 br b uluruz. Cevap: C 2) 2 2 2 f(x) 5x 4 ve g(x) 2x 6x 5 fonksiyonlarının grafikleri arasındaki kapalı alan kaç br dir? A) 24 B) 26 C) 27 D) 30 E) 32 ÇÖZÜM: 2 2 2 2 İlk önce fonksiyonların kesişim noktalarını bulalım. 5x 4 2x 6x 5 3x 6x 9 0 x 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0 x 3 ve x 1 de kesişirler. Bu noktalardan biri, kapalı bölgeninin başlangıcı diğeri bitişi olacaktır. x 1 den 3’e kadar integral alacağız. İki kesişim noktası arasında, fonksiyonların hangisinin üstte, hangisinin altta olduğunu bilmeden direkt integral alabiliriz. Çıka Not : 3 3 2 2 2 1 1 3 3 2 1 n sonucun mutlak değeri bize alanı verir. (5x 4) (2x 6x 5) dx 3x 6x 9 dx x 3x 9x 2 27 27 27 1 3 9 27 5 32 dir. Demek ki g(x), f(x) in üstündeymiş. Alan 32 br dir. Cevap: B Not : Merak ediyorsanız, grafiği aşağıdaki gibidir: www.matematikkolay.net 3) 3 2 y x eğrisi ile y 16x doğrusunun grafikleri arasıdaki kapalı alanların toplamı kaç br dir? A) 32 B) 64 C) 128 D) 192 E) 256 ÇÖZÜM: 3 3 3 2 İlk önce kesişim noktalarını bulalım. x 16x x 16x x 16x 0 x(x 16) 0 x(x 4)(x 4) 0 x 0, x 4, x 4 te keser. Demek ki iki bölge var. Biri x 4 ten x 0 a kadar Diğeri x 0 dan x 4 e kadar. Birinci bölge i 0 0 3 3 4 4 0 4 2 4 çin integral alalım. ( x ) ( 16x) dx 16x x dx x 8x 4 0 128 64 6 2 4 4 3 3 0 0 4 4 2 0 4 tür. Alan 64 br dir. İkinci bölge için integral alalım. ( x ) ( 16x) dx 16x x dx x 8x 4 128 64 0 2 2 64 tür. Alan 64 br dir. Alanların toplamı da 64 64 128 br dir. Cevap : C Not : Merak ediyorsanız, grafiği aşağıdaki gibidir : 4) 2 Yukarıdaki grafikte, y x 16 parabolü ile y 2x 8 doğrusu gösterilmişitir. Buna göre, mavi bölgenin A alanının, yeşil bölgenin alanına oranı kaçtır? B 11 13 15 19 27 A) B) C) D) E) 21 23 26 30 37 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 y x 16 eğrisi x eksenini nerde keser, bulalım. x 16 0 16 x x 4 ve 4 te keser. Parabol ile doğru nerelerde kesişiyor, bulalım. x 16 2x 8 0 x 2x 8 0 (x 4)(x 2) x 4 te 2 2 2 2 4 4 parabol ile doğru arasındaki alan 2 3 2 4 x 2 de kesişir. Buna göre, A ( x 16) (2x 8) dx x 2x 8 dx x x 8x 3 8 64 4 16 16 32 3 3 8 64 12 48 3 3 72 60 3 24 60 2 4 4 3 2 4 4 parabol ile x ekseni arasındaki alan 36 br dir. x A B ( x 16)dx 16x 3 64 64 64 64 3 3 2 2 128 128 3 256 br dir. 3 256 256 108 148 B 36 br dir. 3 3 3 Buna göre, A 36 108 27 dir. Cevap : E B 148 37 148 3 5) 2 2 2 y x 2x 5 parabolü ile y x 4x 1 parabolü arasında kalan ve x 4 ve x 1 doğruları ile sınır – landırılan bölgenin alanı kaç br dir? A) 4 B) 6 C) 9 D) 13 E) 15 ÇÖZÜM: 2 2 2 2 Bu iki parabol hiç kesişiyor mu, bakalım. x 2x 5 x 4x 1 2x 4 x 2 de kesişiyorlar. Bu nokta x 4 ile x 1 arasında olduğu için iki farklı bölgede integral alacağız. 1.Bölge (x 2x 5) (x 4 2 4 2 4 2 2 4 2 1 2 2 2 x 1) dx 2x 4 dx x 4x 4 8 16 16 4 br dir. 2.Bölge (x 2x 5) (x 4x 1) dx 1 2 1 2 2 2 2 2x 4 dx x 4x 1 4 4 8 5 4 9 dur. Alan 9 br dir. Toplam 4 9 13 br buluruz. Cevap : D Merak ediyorsanız, grafik aşağıdaki gibidir : www.matematikkolay.net 6) 3 5 5 3 5 5 5 -5 Yukarıdaki grafikte f(x) ve g(x) eğrileri gösterilmiştir. (f(x) g(x))dx 9 , (f(x) g(x))dx 10 ve (f(x) g(x))dx 6 olduğuna göre, (f(x)- g(x)) dx kaçtır? A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 ÇÖZÜM: 3 5 5 3 5 5 (f(x) g(x))dx 9 B C A 9 dur. (I.eşitlik) (f(x) g(x))dx 10 B C D 10 dur. (II.eşitlik) (f(x) g(x))dx 6 B C A D 6 dur. (III.eşitlik) III. eşitlikten I.eşitliği çıkarırsak, B C A D B C A 6 9 D 3 D 3 buluruz. III. eşitlikten II.eşitliği çıkarırsak, B C A D B C D 6 10 A 4 A 4 buluruz. I 4 3 5 -5 4 3 13 Alanların toplamı II. eşitliğe geri dönersek, B C A D 6 B C 13 olur. O halde, (f(x)- g(x)) dx A B C D 20 buluruz. Cevap: E 7) www.matematikkolay.net 2 2 Yukarıdaki grafikte x y 6 eğrisi ile y x doğrusu arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç br dir? 85 125 145 175 195 A) B) C) D) E) 6 6 6 6 6 ÇÖZÜM: 2 2 İki fonksiyonun kesiştikleri y değerlerini bulalım. y 6 y y y 6 0 (y 3)(y 2) 0 y 3 ve y 2 de kesişirler. f(y), g(y) nin sağında bir fonksiyon olmak üzere, bu iki fonksiyon arası Not : b a 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 ndaki alan f(y) g(y) dy integrali ile bulunur. Buna göre, Alan y (y 6) dy y y 6 dx y y 6y 3 2 9 8 9 18 2 12 2 3 9 (6) (3) (2) 2 9 8 10 2 3 19 9 8 1 2 3 114 27 16 6 125 br dir. Cevap: B 6 www.matematikkolay.net 8) 2 y x 6 doğrusu ve y x eğrisi ile x ekseni ara – sında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br dir? 22 28 32 35 40 A) B) C) D) E) 3 3 3 3 3 ÇÖZÜM: 2 2 2 (y ye göre integral almak) İki fonksiyonun kesiştikleri y değerlerini bulalım. y x eğrisini y x olarak düşüneceğiz. y x 6 doğrusunu ise x 6 y olarak yazacağız. y 6 y y y 6 0 (y 3)(y 2) 0 I. yol 2 2 0 2 2 3 0 y 3 ve y 2 de kesişirler. Tabi, y x idi. y negatif olamaz. Sadece y 2 de kesişirler. x ekseni de y 0 demektir. O halde, alan (6 y) y dy y y 6y 2 3 2 8 12 2 0 3 8 10 3 22 br buluruz. Cevap : A 3 4 2 0 B üçgeninin A alanı (x e göre integral almak) y x 6 doğrusu ile y= x eğrisinin (4, 2) noktasında kesiştiklerini bulduktan sonra, 2.2 x u olsun, dx 2udu olur. Alan xdx 2 Sınır değerler u 0 II. yol 2 0 2 3 0 2 ile 2 arası u.2u.du 2 u 2 2 3 16 2 3 22 br dir. 3 9) www.matematikkolay.net 3 4 3 4 Yukarıdaki grafikte f(y) ve g(y) eğrileri ve bu iki eğri arasındaki kapalı alanların büyükleri gösterilmiştir. f(y) g(y) dy Buna göre, oranı kaçtır? f(y) g(y) dy 1 8 9 11 A) 1 B) C) D) E) 2 11 20 29 ÇÖZÜM: f(y) solda f(y) sağda f(y) solda 3 4 3 4 3 4 Alanların toplamıdır 3 4 4 f(y) g(y) dy 8 9 12 11 dir. Buna göre, f(y) g(y) dy 11 dir. f(y) g(y) dy 8 9 12 29 dur. O halde, f(y) g(y) dy f(y) g(y) dy 3 11 dur. Cevap: E 29 10) Yukarıdaki grafikte y f(x) fonksiyonunun türevine ait bir grafik verilmiştir. f( 4) 8 olduğuna göre, f(4) kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 16 E) 26 ÇÖZÜM: Türev grafiği verildiğinde, Belirli integral ile Grafikteki alan arasındaki ilişkiden yararlanarak fonksiyon hakkında bazı bilgilere ulaşabiliriz. Soruda, türev gr Not : 4 4 4 4 afiği verilmiştir. f'(x)dx 9 4 3 f(x) 2 f(4) f( 4) 2 f(4) 8 2 f(4) 6 buluruz. Cevap: B
