Ekstremum Noktalar

Bu bölümde Ekstremum Noktalar ile ilgili 12 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap B olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap B olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap B olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap B olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap C olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap A olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Yanlış! Kapat Cevap D olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Yanlış! Kapat Cevap E olmalıydı.

Tebrikler Kapat Doğru Cevapladınız.

Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

EKSTREMUM NOKTALAR www.matematikkolay.net 1) Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonuna ait grafik veril￾miştir. Buna göre, ( 3, f( 3)), ( 1, f( 1)) noktaları yerel maksimum noktalarıdır. 3 3 , f , (1, f(1)), (3, f(3)) nok 2 2 I. II. taları yerel minimum noktalarıdır. Şekilde 5 tane yerel ekstremum noktası vardır. x 3 noktasında türev olmamasına rağmen bu nokta bir ekstremum noktadır. A) I ve II B) II ve III C) I III. IV. ve IV D) I, II ve III E) I, II ve IV ÇÖZÜM: f(x), x a noktasında, hemen yanındaki noktalara göre daha büyük değer alıyorsa bu nokta bir f(x), x a noktasında hemen yanındaki noktalara göre daha küçük değer alıyorsa b Not : yerel maksimum noktasıdır. u nokta bir Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına genel olarak denir. Sırayla öncülleri inceleyelim. yerel minimum noktasıdır. ekstremum noktalar I. x 3 noktasında f(x) hem soluna hem de sağına göre üst değerdedir. Yerel maksimum noktasıdır. x 1 noktasında f(x) hem soluna hem de sağına göre üst değerdedir. Yerel maksimum noktasıdır. Süreklili ğin olmaması bu durumu etkilemez. I.öncül doğru 3 I. x noktasında f(x) hem soluna hem de sağına 2 göre alt değerdedir. Yerel minimum noktasıdır. x 1 de fonksiyon tanımlanmamıştır. Dolayısıyla böyle bir noktaya sahip değildir. O yüzden yerel minimum n oktasıdır, diyemeyiz. x 3 noktasında f(x) hem soluna hem de sağına göre alt değerdedir. Yerel minimum noktasıdır. Sürekliliğin olmaması bu durumu etkilemez. II. öncül yanlış www.matematikkolay.net III. Şekilde 4 tane yerel maksimum veya yerel minimum noktası vardır. Bu sebeple 4 tane ekstremum noktası vardır. III. öncül yanlıştır. IV. x= 3 te sivri uç olduğu için türev yoktur. Ancak, komşularına göre üst nokta olduğu için bir yerel maksimum noktasıdır. Dolayısıyla bir ekstremum noktadır. IV. öncül doğru. Ektremum noktalar için türevin varlığı, olmazsa olmaz bir şart değildir. Not : Cevap: C 2) Yukarıda şekilde, [ 2, 7] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, ekstremum nokta sayısı, mutlak minimum ve mutlak maksimum noktaları hangi şıkta doğru ifade edilmi ştir? A) 6 A F B) 6 C D C) 5 A F D) 5 A D E) 6 C D Ekstremum Nokta Mutlak Mutlak Sayısı Maksimum Minimum ÇÖZÜM: Tanım aralığı kapalı şekilde belirtiliyorsa, sınır noktalar, birer yerel maksimum veya yerel minimum noktasıdır. Açık aralık olursa, birer ekstremum nokta olamaz. Not : Buna göre, A noktası bir yerel maksimum noktasıdır. F noktası ise, bir yerel minimum noktasıdır. B ve D noktaları, komşularına göre alt bir nokta olduğu için birer yerel minimum noktasıdır. C noktası ise, komşularına göre üst bir nokta olduğu için bir yerel maksimum noktasıdır. E noktası ise, sol tarafına göre üst, sağ tarafına göre ise alt bir noktadır. Bu sebeple ekstremum nokta değildir. O halde, Ekstremum noktalar A, B, C, D, F 5 tanedir. Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta, en büyük değerini aldığı noktaya , burdaki değerine ise denir. Bir Not : mutlak maksimum noktası mutlak maksimum değeri fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta, en küçük değerini aldığı noktaya , burdaki değerine ise denir. Doğal olarak, bu noktalar (eğer varsa), ekstremum noktalard mutlak minimum noktası mutlak minimum değeri an olacaktır (Sınır değerlerin de birer ekstremum nokta olduğunu unutmayalım). www.matematikkolay.net Buna göre, A noktası, fonksiyonun en büyük değerini aldığı nokta olduğu için mutlak maksimum noktasıdır. D noktası, fonksiyonun en küçük değerini aldığı nokta olduğu için mutlak minimum noktasıdır. Cevap: D 3) Yukarıda şekilde, ( 2, 8) aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) ile ilgili olarak; 2 tane ekstremum noktası vardır. 1 Mutlak minimum değeri iken, 2 I. II. mutlak maksi- mum değeri 10 dur. (5, 7) noktası, hem yerel maksimum noktası hem de mutlak maksimum noktasıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III III. D) I ve II E) I ve III ÇÖZÜM: 1 1, noktası yerel minimum, (5, 7) noktası ise yerel 2 maksimum noktasıdır. Uç noktalar kapalı olmadığı için uç noktalar esktremum nokta değildir. Buna göre, 2 ekstremum noktası vardır. I. öncül do ğru. Fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak minimum noktalarını kesin olarak belirleyemiyorsak, fonksiyonun mutlak maksimum veya mutlak mini￾mum noktaları yoktur. Bu sebeple tanım aralığı, açık aral Not : ık şekilde veya sonsuz olarak belirtilen durumlarda mutlak mak￾simum veya mutlak minimum noktaları olmaya￾bilir. 1 Fonksiyonun en küçük değeri 1, noktasında ger- 2 çekleşiyor. Bu sebeple mutlak min 1 imum değeri dir. 2 Ancak, mutlak maksimumu net belirleyemiyoruz. Fonksiyon, en büyük değerini 10’a yakın bir yerlerde alıyor ama buradaki nokta net değil. Bu sebeple mutlak minimum değeri yoktur. II. öncül yanlış. (5, 7) noktası yerel maksimumdur ama mutlak mak￾simum noktası değildir. Çünkü fonksiyon, bu değer￾lerden daha fazla değer alabiliyor. Yerel minimum ya da yerel maksimum nokta￾nın varlığ Not : ı, mutlak maksimum ya da mutlak mini￾mum noktanın kesinlikle olacağını göstermez. III. öncül yanlış. Cevap: A www.matematikkolay.net 4) 3 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) x 3x 9x 19 fonksi – yonunun esktremum noktaları ile aşağıdaki şıklar – dan hangisi doğrudur? A) (7, 152) ( 5, Yerel Maksimum Yerel Minimum Noktası Noktası 136) B) (5, 24) (1, 8) C) ( 1, 24) (3, 8) D) (0, 19) (2, 3) E) (6, 73) (4, 1) ÇÖZÜM: f(x) fonksiyonun ekstremum noktada türevi varsa, bu noktada türevi 0 dır. Sorudaki fonksiyon, polinom fonksiyon olduğundan tüm reel sayılarda türevli bir fonksiyondur. Bu sebeple türevin 0 Not : 2 2 2 3.Oca olduğu noktalara bakabiliriz. f'(x) 3x 6x 9 dur. 3x 6x 9 0 yapan x değerlerini bulalım. x 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0 dır. x 3 ve x 1 köklerdir (Tek katlı kökler) Türevin 0 olduğu tek katlı köklerde Not : yerel ekstremum nokta vardır. Hangisinin yerel maksimum, hangisinin yerel mini￾mum nokta olduğuna karar vermek için, işaret tablosuna bakalım. Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa geçtiği yerde yerel maksimum noktası Fonksiyonun azalanlıktan artanlığa geçtiği yerde yerel minimum noktası vardır. Ar tanlı Not : 3 2 0 k, azalanlık değişim noktalarına bakarak, x 1 de yerel maksimum, x 3 te yerel minimum nokta olacağını söyleyebiliriz. x 3 için f(x) 3 3.3 9.3 19 27 19 8 dir. (3, 8) 3 2 noktası x 1 için f(x) ( 1) 3.( 1) 9.( 1) 19 1 3 9 19 4 28 24 tür. ( 1, 24) noktası Cevap: C Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıda bakabilirsiniz: 5) www.matematikkolay.net 4 x 3 Reel sayılarda tanımlı f(x) x fonksiyonunun 4 esktremum noktaları ile aşağıdaki şıklardan hangisi doğrudur? A) Yoktur Yoktur B) (0, 0) 3, Yerel Maksimum Yerel Minimum Noktası Noktası 27 4 27 C) Yoktur 3, 4 27 D) 3, (0, 0) 4 27 E) 3, Yoktur 4 ÇÖZÜM: 3 2 3 2 2 Türevi olan bir fonksiyon olduğu için, direkt türeve bakalım. f'(x) x 3x dir. x 3x 0 yapan x değerlerini bulalım. x (x 3) 0 x 0 (Çift katlı) ve x 3 (Tek katlı) kökleridir. İşaret tablos unu yapalım. Başkatsayısı negatif olduğu için sağdan ile başlayacağız. Türev işaret değiştirmiyorsa, burada ekstremum nokta olduğunu söyleyemeyiz. Bu sebeple tek katlı kök olması gerekir. x 0 noktasında ekstremum nokta yoktur. x 3 noktasında ise Not : yerel maksimum nokta vardır. 81 81 108 27 x 3 için f(x)= 27 tür. 4 4 4 27 3, noktası yerel maksimum noktasıdır. 4 Başka ekstremum nokta yoktur. Cevap: E Türevin 0’a eşit olduğu yerlerd Not : e, direkt burada ekstremum nokta vardır, diyemeyiz. Merak ederseniz, fonksiyonun grafiğine aşağıda bakabilirsiniz: 6) 2 f : [1, 4] R olmak üzere f(x) x 4x 7 fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri hangi şıkta doğru gösterilmiştir? A) 3 Yokt Mutlak Minimum Mutlak Maksimum Değeri Değeri ur. B) 3 7 C) 4 7 D) Yoktur 3 E) 3 4 ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net Tanım kümesi kapalı aralık şeklinde olduğu için sınır değerlerde ekstremum nokta olacaktır. İlk önce buradan başlayalım. x 1 için f(x) 1 4 7 4 tür. (1, 4) noktası x 4 için f(x) 16 4.4 7 7 dir. (4, 7) no ktası Tanım kümesinin içinde başka ekstremum nokta var mı, bunun için türeve bakalım. f'(x) 2x 4 tür. 2x 4 0 yapan x değerini bulalım. x 2 dir. İşaret tablosu oluşturalım. Mutlak Mutlak Minimum Maksimum x 2 için f(x) 4 4.2 7 3 tür. (2, 3) noktası Ekstremum noktalar (1, 4), (2, 3) , (4, 7) dir. O halde, f(x) in mutlak minimum değeri 3, mutlak maksimum değeri 7 dir. Cevap:B Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : Her ekstremum nokta, türevle bulunamaz. (Özellikle sınır değerler, sivri uçlar, zıplama, kopma gibi sürekliliği bozan durumlar türevi işlevsiz kılar.) Not : 2 2 (Ekstremum). y ax bx c şeklinde bir parabolün tepe nokta￾b sının apsisi r idi. 2a ax bx c nin türevi 2ax b dir. b 2ax b 0 ı sağlayan x değeri de dır 2a Hatırlatma: 7) 4 3 2 f(x) x 4x 2x 12x 15 fonksiyonunun en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 14 ÇÖZÜM: 3 2 3 2 3 2 2 2 Türevinin 0 olduğu noktalara bakalım. 4x 12x 4x 12 0 4(x 3x x 3) 0 x 3x x 3 0 x (x 3) (x 3) 0 (x 3)(x 1) 0 (x 3)(x 1)(x 1) 0 İşaret tablosunu oluşturalım. Fonksiyon, da ve da yüksek değerlerde. Dolayısıyla minimum değerinin, yerel minimum noktalarında olmasını bekleyebiliriz. x 1 için f(x) 1 4 2 12 15 6 dır. x 3 için f(x) 81 108 18 36 15 6 dır. Yerel m inimum noktaları ( 1, 6) ve (3, 6) noktaları – dır. Bundan daha düşük değer olmayacağı için f(x) in en küçük değeri 6 dır. Cevap : C Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidi r : www.matematikkolay.net 8) 5 3 f : [ 1, 3] R olmak üzere x 4x f(x) 12 fonksiyonunun kaç tane ekstre- 5 3 mum noktası vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 4 2 2 2 2 Tanım aralığı kapalı aralık olduğu için uç noktalarda ekstremum nokta olacaktır. Yani x 1 de x 3 te ekstremum nokta vardır. Aradaki noktalar için türeve bakalım. x 4x 0 x (x 4) 0 x (x 2)(x 2) 0 x 0 (çift katlı kök) ekstremum nokta değil. x 2 (tek katlı kök) ekstremum nokta x 2 (tek katlı kök) normalde ekstremum nokta ancak; Tanım kümesinin içinde bir nokta olmadığı için f(x) e ait değildir . O halde, sadece 3 tane ekstremum noktası vardır. Cevap : C Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : 9) 4 3 2 f : R R, a R, a 0 olmak üzere, f(x) 3x 16x ax 10 fonksiyonunun 1 tane ekstremum noktası varsa, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 12 B) 15 C) 16 D) 20 E) 24 ÇÖZÜM: 3 2 2 2 Türeve bakalım. 12x 48x 2ax 0 2x(6x 24x a) 0 x 0 değeri bu denklemin bir köküdür. (6x 24x a) ifadesinden çift katlı bir kök gelirse veya hiç kök gelmezse f(x) in bir tane ekstremum noktası olur. Yani, 2 0 olmalıdır. 24 4.6.a 0 24. 24 4.6 .a 24 a a nın en küçük değeri 24 tür. Cevap: E Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : www.matematikkolay.net 10) 4 3 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) 3x ax bx 60x 1 fonksiyonun (1, 30) noktası yerel minimum noktası olduğuna göre b a kaçtır? A) 34 B) 32 C) 30 D) 26 E) 24 ÇÖZÜM: 3 2 (1, 30) noktası f(x) in bir noktasıdır. f(1) 30 olmalıdır. 3 a b 60 1 30 a b 56 30 a b 26 dır. Yerel ekstremum noktasında da türev 0 olmalıdır. f'(x) 12x 3ax 2bx 60 f'(1) 0 dır. 12 3a 2b 60 0 3a 2b 48 4 0 3a 2b 48 dir. 2 / a b 26 idi. 3a 2b 48 2a 2b 52 a 4 tür. a b 26 b 30 dur. b a 30 ( 4) 34 buluruz. Cevap : A 11) Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) in 3 tane esktremum noktası vardır. 7 f(x) in x de yerel maksimum noktası 2 vardır. f(x) in x I. II. III. 2 de bir ekstremum noktası yoktur. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) Yalnız I C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III ÇÖZÜM: Türev grafiğinden yararlanırken, Ekstremum noktaları, türevin 0’a eşit olduğu yerlerde arayacağız. Ayrıca, bu noktada işaret değişiminin olması gerekiyor. İlk önce Not : işaret tablosu yapalım. www.matematikkolay.net x 3 te ekstremum nokta yoktur. Çünkü x 3 ten önce ve sonra türev pozitiftir. 7 x de ise yerel maksimum noktası vardır. 2 Çünkü ar tanlık tan azalanlığa geçiş var. II. öncül doğrudur. 11 x de ise yerel mi 2 nimum noktası vardır. Burda da azalanlık tan ar tanlığa geçiş var dır. Buna göre, f(x) in 2 tane ekstremum noktası vardır. I. öncül yanlış. III.öncül f(x) in x 2 de herhangi bir ekstremum noktası yoktur. ( f(x) in s (Türev 0’a eşit değil.) III. öncül doğru Cevap : D Eğer merak ederseniz, f(x) in grafiği aşağıdaki gibi olabilir: abit terimi 0 kabul edilerek çizilmiştir.) 12) Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) in x 1 de yerel minimum noktası vardır. f”( 1) 0 dır. f'(x) in x 3 te yerel maksimum noktası v I. II. III. ardır. [ 3, 1] aralığında f(x) fonksiyonu azalandır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve III B) II ve III C) I ve IV D) I, II ve III E) I, II ve IV IV. ÇÖZÜM: Türev grafiği verilmiş. İşaret tablosu oluşturalım. Şimdi sırayla ifadelere bakalım. x 1 de f(x) azalanlık tan ar tanlığa geçmiş. Yerel minimum noktasıdır, doğru. f'(x) in x 1 noktasındaki teğeti x eksenine para- leldir. Diğer bir deyişle, I. II. burada bir yerel minimum noktasına sahiptir. Bu sebeple burdaki türevi 0 olacaktır. f'(x) ‘ f”(x) 0 dır, doğru. x 3 noktası f'(x) in herhangi bir ekstremum noktası değildir. f( III. x) in yerel maksimum noktasıdır. III.öncül yanlış ( 3, 1) aralığında f'(x) 0 olduğu için f(x), [ 3, 1] aralığında azalandır, diyebiliriz. IV. öncül doğru. IV. Cevap : E