Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu bölümde Artan ve Azalan Fonksiyonlar ile ilgili 15 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…

 

1.SORU

Çözüm için Tıklayınız.


2.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

3.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

4.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

5.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

6.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

7.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

8.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

9.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

10.SORU

Çözüm için Tıklayınız.

2.Sayfa için Tıklayınız.

Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.

 

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR www.matematikkolay.net 1) Yukarıda şekilde, [ 7, 7] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, ( 7, 3) aralığında fonksiyon azalandır. ( 3, 2) aralığında fonksiyon sabittir. [5, 7] ar I. II. III. alığında fonksiyon artandır. Ar tan olduğu en geniş aralık (3, 7) aralığıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) II ve IV D) I, II ve III E) I, II ve I IV. V ÇÖZÜM: 1 2 1 2 1 2 1 2 f(x), aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. x ve x aralığında birer nokta olmak üzere, Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Her x x için f(x Not : [a, b] (a, b) [a, b] f(x) artandır. 1 2 1 2 1 2 ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Sırayla öncülleri inceleyelim. I. ( 7, 3) aralığında x değerleri arttıkça [a, b] f(x) azalandır. [a, b] f(x) sabittir. , y değerlerinin azaldığını görüyoruz. Yani, sağa gittikçe fonksiyon azal￾maktadır. Bu nedenle azalandır. I. öncül doğru. II. ( 3, 2) aralığında x değerleri arttıkça, y değerlerinin sabit kaldığını gör üyoruz. Bu nedenle sabittir. II. öncül doğru. III. (5, 7) aralığında x değerleri arttıkça, y değerlerinin arttığını görüyoruz. Yani, sağa gittikçe fonksiyon art￾maktadır. Bu nedenle artandır. II I. öncül doğru. Sınır değerlerde süreklilik bozulmuyorsa bir fonksiyonun azalan, artan olduğu en geniş aralıklar belirtilirken sınır değerler de dahil edilir. IV. f(x) fonksiyonu (3 Not : , 7) aralığında artandır, doğru. Ancak; En geniş aralık belirtilirken sınır değerler de dahil edilmeliydi. [3, 7] yazılmalıydı . Bu sebeple IV. öncül hatalıdır. Cevap : D www.matematikkolay.net 2) Yukarıda şekilde, [ 3, 3] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, [ 2, 0] aralığında fonksiyon sabittir. [ 3, 1] aralığında fonksiyon artandır. [ 1, I. II. III. 3] aralığında fonksiyon azalandır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız I ÇÖZÜM: I. x 2 den 1’e doğru giderken fonksiyon ar tan, x 1 den 0’a doğru giderken ise fonksiyon azalandır. Bu aralıkta sabit olduğunu söyleyemeyiz. II. x 3 ten x 1 e doğru fonksiyon sürekli artmıştır. Bu sep eple ar tandır. II. öncül doğru Aradaki zıplama, ar tanlığını bozmamaktadır. III. [ 1, 3] aralığında fonksiyon sürekli azalıyor, gözükebilir ama x 2 den önce daha alçak bir yerde iken x 2 den sonra daha y üksek bir yerden devam etmiştir. Dolayısıyla burada azalanlık bozulmuştur. [ 1, 3] aralığında azalandır, diyemeyiz. III. öncül yanlış. [ 1, 2] ve (2, 3] aralıklarında azalandır. Cevap: B 3) 3 2 f : R R olmak üzere, f(x) 2x 15x 24x 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) ( , 1) B) ( , 4] C) [1, 4] D) [2, 5] E) [4, ) ÇÖZÜM: f(x) aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. Her x (a, b) için f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığında Not : [a, b] [a, b] f(x) artandır. [a, b] f(x) azalandır. [a, b] f(x) 2 2 2 ( 1)( 4) Buna göre, f(x) in türevini alalım. f'(x)=6x 30x 24 tür. İşaret tablosu oluşturalım. 6x 30x 24 0 x 5x 4 0 (x 1)(x 4) 0 x 1 ve x 4 te işaret değişecek. Başkatsayısı pozitif sağdan i sabittir. le başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi (1, 4) aralığında negatif olduğu için f(x) fonksiyonu [1, 4] aralığında azalandır, diyebiliriz. Cevap: C Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir: www.matematikkolay.net 4) 4 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) x 18x fonksiyonunun ar tan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangi￾sidir? A) ( , 3] [3, ) B) [ 3, 3] C) [0, ) D) ( , 0) (0, ) E) [ 3, 0] [3, ) ÇÖZÜM: 3 3 2 f'(x)=4x 36x tir. İşaret tablosu oluşturalım. 4x 36x 0 4x(x 9) 0 4x(x 3)(x 3) 0 x 3, 0 ve 3 te işaret değişecek. Başkatsayısı pozitif sağdan ile başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi ( 3, 0) ve (3, ) aralığında pozitif olduğu için f(x) fonksiyonu [ 3, 0] ve [3, ) aralığında ar tandır, diyebiliriz. Cevap: E Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir: 5) 2 3 2 I. f(x) 3x 2 II. g(x) x 6x 9 III. h(x) x 3x 3x 1 Yukarıdaki fonksiyonlardan hangileri daima artandır? A) I ve II B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız I ÇÖZÜM: f'(x) 3 tür. Her zaman pozitiftir. Bu sebeple daima ar tan olacaktır. I. g'(x) 2x 6 dır. x 3 için negatif olur. Bu sebeple daima artan olamaz. II. www.matematikkolay.net 2 2 2 h'(x) 3x 6x 3 3(x 2x 1) 3(x 1) dir. Tam kare bir ifade olduğu için negatif olamaz. x 1 dışında pozitiftir. Tek bir noktada türevin 0 olması, ar tanlığını bozma￾yaca III. ktır*. Bu sebeple daima ar tandır, diyebiliriz. *: a 1 b olsun. h(a) h(1) h(b) yi her zaman sağlar. Bu sebeple daima ar tan diyebiliriz. Ancak, türev bir aralıkta 0 olsaydı (Yani sonsuz sayıda noktada 0 ols aydı) bunu diyemezdik. Mesela (1, 2) aralığında 0 olsaydı bunu diyemezdik. Cevap: C 6) 4 3 x x 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) 4x 12x 30 4 3 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağı- dakilerden hangisidir? A) ( , 2] B) [ 3, ] C) [2, ) D) ( , 0) (2, ) E) [ , 3] [2, ) ÇÖZÜM: 3 2 3 2 12x 4x 3 2 2 4.Mar 2 f'(x) x x 8x 12 dir. Çarpanlarına ayırıp, kök bulmaya çalışalım. x x 8x 12 x x 12x 4x 12 x(x x 12) 4(x 3) x(x 4)(x 3) 4(x 3) (x 3) x.(x 4) 4 (x 3) x 4x 4 (x 3) (x 2 2 2 ) (x 3)(x 2) dir. İşaret tablosu oluşturalım. x 3 te işaret değişecek x 2 de işaret değişmeyecek (Çift katlı kök) Başkatsayısı negatif sağdan ile başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi, x 2 hariç ( 3, ) aralığında negatiftir. Tek bir noktada türevin 0 olması, azalanlığı etkileme￾yecektir. Bu sebeple f(x) fonksiyonu [ 3, ) aralığında azalandır, diyebiliriz. Cevap: B Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : 7) www.matematikkolay.net 3 2 a bir tam sayı olmak üzere, f(x) x ax 27x 12 fonksiyonunun daima artan olabilmesi için a’nın alabileceği değerler kaç tanedir? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 ÇÖZÜM: 2 Daima ar tan olabilmesi için, türevi sürekli pozitif olmalıdır. (Noktalar sınırlı sayıda ise türev ara nok – talarda 0 da olabilir.) f'(x) 3x 2ax 27 dir. Bu ifadenin hiçbir şekilde negatif olmaması lazım. 2 2 2 Başkatsayısı pozitif. O halde, bu ifadenin iki farklı kökü olmamalıdır. Yani 0 olmalıdır. 4a 4.3.27 0 a 81 0 a 81 9 a 9 dur. O halde, a 9, 8,…,7,8,9 tam sayı değerlerini ala￾bilir. Terim Sayısı  9 ( 9) 1 19 tanedir. Cevap : D a nın çeşitli değerleri için, aşağıda bir kaç örnek grafik çizilmiştir. Merak ediyorsanız, inceleyebilir￾siniz. 8) a bir reel sayı olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta ax 1 f(x) fonksiyonunun daima azalan olabilme- 9x a si için a’nın alabileceği değer aralığı hangi şıkta doğru gösterilmiştir? A) ( 3, 3) B) [ 3, 3] C) R ( 3, 3) D) R [ 3, 3] E) R {3} ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 Daima azalan olabilmesi için, türevi sürekli negatif olmalıdır. (Noktalar sınırlı sayıda ise türev ara nok – talarda 0 da olabilir.) a.(9x a) (ax 1).9 f'(x) (9x a) 9ax 2 a 9ax 2 2 2 2 2 Payda negatif olamaz. 0 da olamaz (Tanımsız olur). O halde, daima pozitiftir. 2 9 (9x a) a 9 (9x a) a 9 0 olmalıdır. (9x a) Pay kısmı ile ilgilenelim. a 9 0 olmalıdır. 3 a 3 olmalıdır. Ancak 2 , a 3 ya da 3 olursa türev 0 oluyor. 0 f'(x) 0 x yerine istedimiz değeri (9x a) yazabiliriz. Yani sonsuz sayıda x için, türev 0 a eşit oluyor. Bu durum, fonksiyonunun azalanlığını bozar (sonlu sayıda o lmalıydı.) Demek ki a’nın sınır değerlerini alamayacağız. Buna göre, a nın değer aralığı ( 3, 3) tür. Cevap : A Başka bir bakış açısı ile, a neden 3 ya da 3 olamaz? 3x 1 3x 1 a 3 olursa f(x) 9x 3 3 (3x 1) 1 olur. 3 3x 1 3x 1 a 3 olursa f(x) 9x 3 3 ( 3x 1) 1 olur. 3 Yani, sabit fonksiyon olur. Azalanlık, artanlık durumu ortadan kalkar. a nın çeşitli değerleri için, aşağıda bir kaç örnek grafik çizilmiştir. Merak ediyorsanız, inceleyebilir – siniz. 9) 2 f : R R olmak üzere, f(x) fonksiyonu daima aza￾lan bir fonksiyon olduğuna göre, 1 f(x) f(x) f(x) x 1 f f (x) x ifadelerinden kaç tan I. II. III. IV. V. esi yine aynı aralıkta azalandır? (Not : f'(x) 0 dır.) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: Pozitif reel sayılarda tanımlı ise x her zaman dır. Görüntü kümesi R ise f(x) dır. f(x) azalan bir fonksiyon ise f'(x) yorumunda bulunabiliriz. Şimdi ifadelerin türevlerine bakalım. 1 I. f(x) 1 2 2 2 2 f'(x) ‘ f(x) f(x) .f'(x) dır. f (x) Artan fonksiyon f(x) f'(x).x f(x).1 II. ‘ dir. Azalandır. x x f'(x) III. f(x) ‘ dir. Azalandır. 2 f(x) 1 1 IV. f ‘ f’ x x 2 1 dır. Artandır. x V. f (x) ‘ 2f(x).f'(x) dir. Azalandır. Cevap: C 10) www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş – tir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f'( 3) 0 B) f'(0) 0 C) f'(6) 0 D) f'( 2) f'(2) E) f'(3) 0 ÇÖZÜM: Azalan yerlerde f'(x) 0 Ar tan yerlerde ise f'(x) 0 dır. Teğetlerin x eksenine paralel olduğu yerlerde ise f'(x) 0 dır. A) x 3 noktasındaki teğet, x eksenine paraleldir. Bu nedenle f'( 3) 0 dır, doğru. B) x 0 noktasında fonksiyon azalmaktadır. f'(0) 0 dır, doğru. C) x 6 noktasında fonksiyon artmaktadır. f'(6) 0 dır, doğru. D) x 2 noktasında fonksiyon artmaktadır. f'( 2) 0 dır. x 2 noktasındaki teğet, x eksenine paraleldir. Bu nedenle f'(2) 0 dır. O halde, f'( 2) f'(0) olmalıydı. D şıkkı yanlış. E) x 3 noktasında fonksiyon azalmaktadır. f'(3) 0 d ır, doğru. Cevap : D

Sayfalar: 1 2

Yorum yapın