Dikdörtgenin alanının en büyük olması

www.matematikkolay.net DC 5. DG AD 2. ED Dikdörtgen biçimindeki arsanın bir köşesine yapılan ev modeli yukarıdak i gibidir. Bu arsanın ev duvarla – rı hariç çevresine bir sıra tel çekilecektir. Kullanılacak telin uzunluğu 72 metre olduğuna göre, arsanın alanı en çok kaç metrekare olabilir? A) 400 B) 420 C) 450 D) 480 E) 500 : Çözüm www.matematikkolay.net Tel uzunluğu 5x 2y 4x y 72 9x 3y 72  3x y 24 y 24 3x tir. Arsanın alanı 5x.2y 10xy 10x(24 3x) tir. Denklemin türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 10x  (24 3x)’ 0 10.(24 3x) 10x.( 3) 0 240 30x 30x 0 240 60x x 4 tür. Buna göre arsanın alanı 10x(24 3x) 40.(24 12) 40.12 480 buluruz.  50
Bir kenarı duvar olan bir arazi sabit uzunluka bir çitle dikdörtgen biçiminde çevriliyor. Çevrilen 2 dikdörtgen arazinin alanı en çok 800 m olduğuna göre, çitin boyu kaç metredir? A) 80 B) 100 C) 120 D) 140 E) 160 : Çözüm www.matematikkolay.net 2k uzunluğunda bir tel olsun. Arazinin uzun kenarı 2x birim olsun. 2k 2x Kısa kenarı k x olur. 2 Alan             2 2 ı k x 2x tir. En büyük değeri için türev alıp, 0’a eşitleyelim. k x 2x ‘ 0 1.2x k x .2 0 2x 2k 2x 0 2k 4x k 2x tir. Max Alan 800 ise k x .2x 800 2x x .2x 800 x.2x 800 2x 800 x 400 x 20 metredir. Çitin uzunluğ  u 2k 2.2x 4x 80 metre buluruz. 162
www.matematikkolay.net 2 Çevresi 32 cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm dir? A) 64 B) 60 C) 48 D) 40 E) 32     2 Dikdötgenin kenarları x ve y ise, 2 x y 32 x y 16 y 16 x tir. Alanı x.y x 16 x 16x x dir. E :  Çözüm     2 n büyük değerini bulalım. 16x x ‘ 0 16 2x 0 2x 16 x 8 dir. Alan x 16 x 8.8 64 buluruz.  193
www.matematikkolay.net x y 1 , x 0 , y 0 doğruları ile sınırlı bölgede 6 4 bulunan ve köşelerinden üçü bu doğrular üzerind e, diğeri de O(0, 0) noktasında olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç birimdir? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 (1983 ÖYS) : Çözüm www.matematikkolay.net Benzer üçgenlerden; 4 y x y 6 x 24 6y 4x xy xy 2 2 2 24 4x 6y 2x 4 y dir. 3 2x 2x Dikdörtgenin alanı x.y x 4 4x 3 3 2x f(x) 4x maksimum değerini bulmak için 3 ilk türevini alıp, 0 ‘a eşitleyelim. 4x f ‘(x) 4 0 x 3 tür. 3 2x x 3 için f(x) 4x 4.3 3        2 2.3 3 18 12 12 6 6 buluruz. 3 107
www.matematikkolay.net OABC dikdörtgeninin alanının maksimum olması için A noktasının apsisi kaç olmalıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 : Çözüm www.matematikkolay.net Benzerlik uygulayalım. x 6 3 8 y 8 4 4x 24 3y 3y 24 4x 4x y 8 tür. 3 4x A(OABC) x 8 tür. 3 Türev alıp, 0’a eşitleyelim. 4x 4 8 x 0 3 3 4x 4x 8x 8 0 8 x 3 3 3 3                 buluruz. 192
www.matematikkolay.net 2 Yukarıdaki şekilde, iki köşesi x ekseni diğer köşeleri x 9 doğrusu ve y 5x parabolü üzerinde bulun 2 an ABCD dikdörtgeni verilmiştir. Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br dir? A) 520 B) 540 C) 560 D) 580 E) 600 : Çözüm 2 Dikdörtgenin bir kenarı 9 x, diğer kenarı y olsun. Dikdörtgenin Alanı (9 x).y y 5x Dikdörtgenin Ala  2 2 3 2 3 ı 2 2 2 nı (9 x).5x 5.(9x x ) Türevini alıp, 0’a eşitleyelim. 5.(9x x ) 5.(18x 3x ) 0 18x 3x 0 3x     18 x 2 18 x 6 dır. 3 Dikdörtgenin Alanı (9 6).5.6 3.5.36 540 bulunur.   www.matematikkolay.net 102
2 Şekilde ABCD dikdörtgeninin D köşesi y x parabolü üzerinde, [AB] kenarı x ekseni ve [BC] kenarı 2 da x 2 doğrusu üzerindedir. Buna göre, ABCD dikdört – geninin alanı en çok kaç br olabilir? www.matematikkolay.net : Çözüm 2 Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu 2 x,diğer kenar uzunluğu y olsun. x y olur. Dikdörtgenin Alanı a.b   2 2 2 3 2 3 ı 2 2 2 3 2 3 -3 (2 x).y (2 x).x Alanın en büyük değerini bulmak için türevini alıp, 0’a eşitleyelim. A (2 x).x 2x x 2x x 0 4x 3x 0 4 3x 4x x olur. 3 4 4 A 2x x 2. 3 3 16 64 32 64 96 64 3 2 9 27 9 27 27                2 bulunur. 27 www.matematikkolay.net 160
2 y x 1 parabolünün y x 1 doğrusuna en yakın noktasının apisi kaçtır? 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 1 2 2 3 3 2 y x 1 doğrusunun eğimi 1 dir. En yakın noktada eğimler birbirine eşittir. y x 1 ise y’ 2 : Çözüm x tir. y’ 1 olmalıdır. 1 2x 1 x buluruz. 2  184
www.matematikkolay.net 2 İki köşesi y x parabolü ve diğer iki köşesi y 6 doğrusu üzerinde bulunan dikdörtgenin alanının mak simum değeri kaçtır? A) 4 2 B) 4 3 C) 6 2 D) 8 2 E) 6 3 : Çözüm    2 2 3 Dikdörtgenin uzun kenarı x x 2x birim iken, Kısa kenarı 6 y 6 x dir. Alan 2x 6 x 12x 2x        3 2 2 2 2 tür. Maksimum değer için türev alıp, 0’a eşitleyelim. 12x 2x ‘ 0 12 6x 0 12 6x 2 x x 2 dir. Alan 2x 6 x 2 2 6 2 2 2.4 8 2 buluruz.  188