İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Eşitsizlikler Genel Çözüm
1) Kök Bulma: Çarpanların ya da bölenlerin kökleri bulunarak işaret tablosuna yerleştirilir. Çift sayıda olan kökler çift katlı kök diyerek işaretlenir.
2) İşaret tespiti: Çarpanların ya da bölenlerin en büyük dereceli terimlerin işaretleri ile işlem yapılır. Sonuç olarak hangi işaret gelirse en sağdan o işaretle başlanır.
3) Tek katlı köklerde işaret değiştirerek, çift katlı köklerde ise işaret değiştirmeden ilerlenir. İstenen bölge, çözüm kümesini oluşturur. Paydayı sıfır yapan kökler çözüm kümesine eklenmez.
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not: Eşitsizliklerin iki tarafı da 0 değilse, bir tarafın 0 olmasını sağlamalıyız.
Not: Eşitsizliklerin iki tarafında da aynı çarpan görürsek hemen sadeleştirme yapmamalıyız. Sürekli pozitif veya sürekli negatif olan çarpanları sadeleştirebiliriz sadece. x’e göre değişkenlik gösteriyorsa bunu sadeleştiremeyiz.
Örnek:
Çözüm:
Not: Mutlak değerin kökü, çift katlı kök kabul edilir.
Örnek:
Çözüm:
Not: Paydayı 0 yapan kökler, çözüme dahil edilmez.
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Not: İşaret tablosunu etkileyecek kökü olmayan ifadeleri tabloda görmezden gelebiliriz (Çift katlı kökler dahil). Sadece, tabloda sağdan hangi işaretle başlayacağımızı tespit ederken bunları değerlendiririz. En sonunda kökleri, eşitsizliği sağlayıp sağlamadıkları hususunda ayrıca değerlendirmek gerekir.
Örnek:
Çözüm:
Not: Grafikte x eksenine teğet olan noktada çift katlı kök, x eksenini kesip diğer tarafa geçtiği noktada ise tek katlı kök vardır.
Grafiğin en sağında yani sonsuzdaki alacağı değere göre de fonksiyonun + ya da – olduğuna karar verilir.
Örnek:
Çözüm:
EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
Birden fazla eşitsizlik içeren ifadelere eşitsizlik sitemi denir.
Çözüm kümesini bulurken, her bir eşitsizlik için ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunur. Sonra kesişimleri alınır.
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)EŞİTSİZLİKLER VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ KONU ANLATIMI www.matematikkolay.net İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi 2 ax bx c 0 gibi ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Çözüm kümesini bulmak için işaret tablosu yapılır. Bunun için ilk önce köklere bakmak gerekir. Kökler, diskriminanta ( ) göre farklılık gösterir : 2 1 2 y ax bx c denkleminin x x olacak şekilde iki farklı kökü vardır. Buna göre, aşağıdaki gibi işaret tablosunu yapabiliriz. 1.durum: Δ > 0 ise Örnek: 2 x x 6 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 03.Şub 2 x x 6 0 denkleminin köklerini bulalım. (x 3)(x 2) 0 Kökler 3 ve 2 dir. x nin katsayısı da pozitif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde başlarız. Her kökte işaret değiştir iriz. 0’dan küçük olan yerler isteniyordu. O halde olan bölge, çözüm kümesidir. Eşitlik olmadığı için, kökler dahil değildir. Çözüm Kümesi ( 2, 3) aralığıdır. Örnek: 2 x 2x 3 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 x 3 x 1 2 x 2x 3 0 denkleminin köklerini bulalım. ( x 3)(x 1) 0 Kökler 3 ve 1 dir. x nin katsayısı negatif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde başlarız. Her kökte işaret değiş tiririz. 0’dan küçük ve 0’a eşit olan yerler isteniyordu. Çözüm Kümesi (, 1][3, ) aralıklarıdır. 2 1 2 y ax bx c denkleminin x x olacak şekilde iki eşit kökü vardır. Bunlar çift katlı köktür. İşaret tablosunda bölgelerin işareti değişmez. 2.durum: Δ = 0 ise Örnek: 2 x 6x 9 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 ( 3)( 3) 2 2 x 6x 9 0 denkleminin köklerini bulalım. (x 3)(x 3) 0 (x 3) 0 Çift katlı bir kök vardır 3 x nin katsayısı da pozitif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde başla rız. Çift katlı kök olduğu için burada işaret değiştirmeyiz. www.matematikkolay.net 0’dan büyük olan yerler isteniyordu. O halde olan bölge, çözüm kümesidir. Eşitlik olmadığı için, kök dahil değildir. Çözüm Kümesi R {3} tür. Örnek: 2 x 12x 36 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 x 6 x 6 x 6 x 6 2 x 12x 36 0 denkleminin köklerini bulalım. ( x 6)(x 6) 0 Çift katlı bir kök vardır 6 x nin katsayısı negatif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde ba şlarız. Çift katlı kök olduğu için burada işaret değiştirmeyiz. 0’dan büyük olan yerler isteniyordu. Ancak bölge yok. Eşitlik olduğu için, kök dahildir. Çözüm kümesi tek elemanlıdır {6} 2 y ax bx c denkleminin gerçek kökü yoktur. Bu yüzden işaret tablosunda bir kök olmayacaktır. a’nın işareti geçerlidir. 3.durum: Δ < 0 ise Örnek: 2 3x 4x 5 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 2 4 4.3.5 16 60 44 tür. Gerçek kökü yoktur. x nin katsayısı da pozitif. İşaret tablosunda her yer olacaktır. Dolayısıyla çözüm kümesi R dir. Örnek: 12 fazlası, karesinden büyük olan kaç tam sayı vardır? Çözüm: 2 2 2 x 4 x 3 x 4 x 3 2 x 12 x olmalıdır. x x 12 0 x x 12 0 denkleminin köklerini bulalım. ( x 4)(x 3) 0 x nin katsayısı negatif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde baş larız. Kökler, tek katlı olduğu için her kökte işaret değiştireceğiz. Eşitsizliği sağlayan tam sayılar, 2, 1, 0, 1, 2 ve 3 tür. 6 tam sayı vardır. Eşitsizlikler Genel Çözüm 1) Kök Bulma: Çarpanların ya da bölenlerin kökleri bulunarak işaret tablosuna yerleştirilir. Çift sayıda olan kökler çift katlı kök diyerek işaretlenir. 2) İşaret tespiti: Çarpanların ya da bölenlerin en büyük dereceli terimlerin işaretleri ile işlem yapılır. Sonuç olarak hangi işaret gelirse en sağdan o işaretle başlanır. 3) Tek katlı köklerde işaret değiştirerek, çift katlı köklerde ise işaret değiştirmeden ilerlenir. İstenen bölge, çözüm kümesini oluşturur. Paydayı sıfır yapan kökler çözüm kümesine eklenmez. www.matematikkolay.net Örnek: 2 2 (x 9)(x 3x 2) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 2 ( 1)( 2) x 1 x 2 Çarpanların köklerini bulalım. x 9 0 x 3 ve x 3 tür. x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 Kökler 3, 1, 2 ve 3 tür. Hepsi tek katlı köktür. Büyük olduğu için, kökler de dahil olacaktır. İ Eşittir 2 2 2 2 x nin işareti + x nin işareti + şareti tespit edelim. (x 9) . x 3x 2 ( ).( ) olur. Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, çözüm kümesi ( , 3] [1, 2] [3, ) dur . Örnek: 2 ( x 3)(x 4x 3) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 2 ( 1)( 3) x 1 x 3 Çarpanların köklerini bulalım. x 3 0 x 3 tür. x 4x 3 0 (x 1)(x 3) 0 Kökler 1 ve 3 tür. “3” çift katlı köktür . Eşitlik olmadığı için, kökler dahil olmayacaktır. İşareti tesp 2 2 x’in işareti x nin işareti it edelim. ( x 3). x 4x 3 ( ).( ) olur. Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, çözüm kümesi (, 1) dir. Örnek: 4 3 2 (x 1) (x 1) ( x 2) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 4 3 2 Çarpanların köklerini bulalım. (x 1) 0 x 1 dir. 4 defa (x 1) 0 x 1 dir. 3 defa ( x 2) 0 x 2 dir. 2 defa Kökler 1 ve 2 kökleri çift katlı köklerdir. 1 ise tek katlı 4 3 2 4 3 2 köktür. Eşitlik olmadığı için, kökler dahil olmayacaktır. İşareti tespit edelim. (x 1) (x 1) ( x 2) ( ) .( ) . . . olur. Buna göre, tabloyu ç izelim. Buna göre, çözüm kümesi (, 1)(1, 1) dir. Not: Eşitsizliklerin iki tarafı da 0 değilse, bir tarafın 0 olmasını sağlamalıyız. Not: Eşitsizliklerin iki tarafında da aynı çarpan görürsek hemen sadeleştirme yapmamalıyız. Sürekli pozitif veya sürekli negatif olan çarpanları sadeleştirebiliriz sadece. x’e göre değişkenlik gösteriyorsa bunu sadeleştiremeyiz. Örnek: 2 (x 6)(x x 1) (x 6) eşitsizliğini sağlayan doğal sayılar kaç tanedir? Çözüm: 2 2 2 02.Oca x 6 x 2 x 1 Sadeleştirme yapamayız. Sağdaki (x 6)’ yı sol tarafa taşıyalım. (x 6)(x x 1) (x 6) 0 (x 6)(x x 1 1) 0 (x 6)(x x 2 ) 0 (x 6)(x 2)(x 1) 0 İşaret tespiti: dır. Eşitlik olduğu için kökler de dahildir. Buna göre, işaret tablosunu çizelim. www.matematikkolay.net Buna göre, eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 2, 3, 4, 5 ve 6 dır. 5 tane Not: Mutlak değerin kökü, çift katlı kök kabul edilir. Örnek: 2 3 x 2 .(x 2x 8).(x 1)(x 2) 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar kaç tanedir? Çözüm: 2 3 2 x 1 0 Çarpanların köklerini bulalım. x 2 0 x 2 dir. Çift sayıda kabul x 2x 8 0 0 olduğu için kök yoktur. x 1 0 (x 1)(x x 1) x 1 dir. x 2 0 x 2 dir. Eşitlik olduğu için, kö 2 3 kler dahildir. İşareti tespit edelim. x 2 .(x 2x 8).(x 1)(x 2) . . . olur. Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, eşitsizliği sağlayan tam sayılar 2, 1, 0, 1 ve 2 dir. 5 tane Not: Paydayı 0 yapan kökler, çözüme dahil edilmez. Örnek: 2 x 9 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. x 2 Çözüm: 2 x 3 x 3 2 Çarpanların köklerini bulalım. x 9 0 (x 3)(x 3) 0 x 2 0 x 2 Paydayı 0 yapıyor. İşareti tespit edelim. x 9 olur. x 2 Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, çözüm kümesi (, 3](2, 3] tür. Örnek: 2 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. x 1 x 2 Çözüm: x 2 x 1 İçler dışlar çarpımı yapmamalıyız. Bir taraf 0 olacak şekilde işlemlere başlayalım. 2 3 0 x 1 x 2 2x 4 3x 3 0 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x 1 0 dır. (x 1)(x 2) Çarpanların kökleri, 1, 1 ve 2 dir. İ şareti tespit edelim. x 1 olur. (x 1)(x 2) Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, çözüm kümesi (, 2)(1, 1) dir. www.matematikkolay.net Örnek: 2 2 x 4x 3 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. x 9 Çözüm: x 3 x = 1 x 3 x = -3 (x 3)(x 1) 0 (x 3)(x 3) ‘3’ kökü 2 defa blunduğu için çift katlı köktür. Şimdi işareti tespit edelim. (x 3)(x 1) olur. (x 3)(x 3) Buna göre, tabloyu çizelim. Buna göre, çözüm kümesi (3, 1] dir. Not: İşaret tablosunu etkileyecek kökü olmayan ifadeleri tabloda görmezden gelebiliriz (Çift katlı kökler dahil). Sadece, tabloda sağdan hangi işaretle başlayacağımızı tespit ederken bunları değerlendiririz. En sonunda kökleri, eşitsizliği sağlayıp sağlamadıkları hususunda ayrıca değerlendirmek gerekir. Örnek: x 2 4 2 4 (x 2)(x 6) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini (x 5) (x 3) bulunuz. Çözüm: x 2 4 2 4 0 kök yok. x 2 0 kök yok. (x 6) 0 x 6 (Çift katlı kök) (x 5) 0 x 5 (Çift katlı kök) (x 3) 0 x 3 tür. İşaret tablosunu etkileyecek tek kök x 3 tür. Sadece bunu tabloda göste x 2 4 2 relim. Şimdi işareti tespit edelim. 4 (x 2)(x 6) olur. (x 5) (x 3) Buna göre, tabloyu çizelim. İşaret tablosuna göre, 3’ün sağ tarafı geçerli. Tabloda gösterilmeyen kökleri de değerlendirelim. x 6 kökü payı 0 yaptığı için çözüm kümesinde yer almalı. x 5 kökü paydayı 0 yaptığı için çözüm kümesinde n çıkarılmalıdır. O halde, Çözüm kümesi {6}(3, 5)(5, ) dur. Not: Grafikte x eksenine teğet olan noktada çift katlı kök, x eksenini kesip diğer tarafa geçtiği noktada ise tek katlı kök vardır. Grafiğin en sağında yani sonsuzdaki alacağı değere göre de fonksiyonun + ya da – olduğuna karar verilir. Örnek: www.matematikkolay.net Yukarıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (x 2)f(x) Buna göre 0 eşitsizliğini sağlayan tam (x 5) sayılar kaç tanedir? Çözüm: Grafiğe göre f(x)’in kökleri 4, 2 ve 5 tir. Ancak “2” çift katlı köktür. Eşitsizlikteki diğer çarpanlardan gelen kökler ise, (x 2) 0 x 2 ve x 5 0 x 5 tir. f(x) için “5” tek katlı köktü ancak “x Tek katlı Çift katlı 5” ten dolayı bir daha “5” kökü geldi. Bu sebeple çift katlı kök olur. O halde, kökler 4, , 2, 2, 5 tir. Şimdi işareti belirleyelim. Grafiğe göre, f(x) fonksiyonu da değ erini alır. (x 2)f(x) olur. Buna göre, tabloyu çizelim. (x 5) Buna göre, çözüm kümesi [ 4, 2] {2} dir. Tam sayı olarak 4, 3, 2 ve 2 olabilir. 4 tane EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ Birden fazla eşitsizlik içeren ifadelere eşitsizlik sitemi denir. Çözüm kümesini bulurken, her bir eşitsizlik için ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunur. Sonra kesişimleri alınır. Örnek: 2 x 3 0 x 5 x 5x 6 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x 3 x 5 2 6 1 x 3 0 Kökler 3 ve 5 x 5 x 3 İşareti x 5 x 5x 6 0 (x 6)(x 1) 0 1 ve 6 (x 6)(x 1) İşareti Tabloyu çizelim ve istenen kısımları boyayalım. İki çözüm kümesinin kesişimini alırsak Çözüm kümesi [ 3, 1) aralığı bulunur. Örnek: 2 x 24 10 11 eşitsizlik sistemini sağlayan tam x sayıların toplamı kaçtır? Çözüm: 2 2 2 İki ayrı eşitsizlik olarak çözüp, kesişimlerini alacağız. x 24 10 ile balaşayalım. x x 24 x 10x 24 10 0 0 x x (x 6)(x 4) 0 Kökler 0, 4 ve 6 dır. x 2 2 İşareti x 24 x 11x 24 11 0 x x (x 8)(x 3) 0 Kökler 0, 3 ve 8 dir. x İşareti Tabloyu ol uşturalım. www.matematikkolay.net Buna göre, sağlayan tam sayılar 3, 4, 6, 7 ve 8 dir. Toplamları 3 4 678 28 dir. Örnek: 2 1 2 1 2 x (m 2)x (m 4) 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, x 0 x ise m’nin alabileceği değerler kümesini bulunuz. Çözüm: 2 2 2 1 2 1 2 Denklemin iki farklı kökü olduğuna göre, 0 dır. (m 2) 4.(m 4) 0 m 4m 4 4m 16 0 m 20 0 Kök yok İşareti m değeri ne olursa olsun pozitiftir. x x hakkında bir şey söyleyemeyiz. x .x 0 ol m 4 malıdır. 0 m 4 tür. 1 O halde m ( , 4) tür. Örnek: 2 1 2 1 2 (m 3)x (m 3)x 2 0 denkleminin kökleri x ve x olmak üzere, 0 x x ise m’nin alabileceği değerler kümesini bulunuz. Çözüm: 2 2 2 1 2 Denklemin iki farklı kökü olduğuna göre, 0 dır. (m 3) 4.(m 3) 2 0 m 6m 9 8m 24 0 m 14m 15 0 (m 1)(m 15) 0 Kökler 1 ve 15 tir. İşareti x ve x pozitif oldukları için kökler toplamı pozitif – tir. m 3 0 Kökler m 3 ve m 3 tür. m 3 İşareti Kökler çarpımı da pozitiftir. 2 0 Kökler m 3 ve işareti m 3 Tabloyu oluşturalım. Buna göre, m(1, 3) dır.
