ÇEMBERİN STANDART DENKLEMİ
Örnek:
Örnek:
Not:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Not:
Not:
ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ
Örnek:
Çözüm:
Not:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
DOĞRU İLE ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE KONUMU
Not: (I.Yol)
Örnek:
Çözüm:
Not: (II. Yol)
Örnek:
Çözüm:
I.Yoldan Çözüm:
Not:
Örnek:
Çözüm:
| Konu ile ilgili Çözümlü Sorular veya Daha Fazlası için Tıkla |
| Çemberlerin Analitik İncelenmesi Konu Notlarını pdf indir |
| Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.) |
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ www.matematikkolay.net ÇEMBERİN STANDART DENKLEMİ 2 2 2 2 2 r yarıçaplı çemberin noktaları P(x, y) ile merkezi M(a, b) arasındaki uzaklık formülü (x a) (y b) r dir. Kare alırsak (x a) (y b) r olur. İşte buna çemberin standart denklemi denir. Örnek: 2 2 Merkezi (2, 3) ve yarıçapı 5 birim olan çemberin s tandart denklemi (x 2) (y 3) 25 tir. Örnek: 2 2 Merkezi (1, 4) ve yarıçapı 3 birim olan çemberin s tandart denklemi (x 1) (y 4) 9 dur. Not: Merkez yarıçap Bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktalar kümesi bir çember belirtir. Not: 2 2 2 (x a) (y b) r çemberinde r b ise bu çember x eksenine teğettir. Örnek: 2 2 (x 2k) (y 4) k çemberi x eksenine teğet ise, bu çemberin merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çözüm: 2 2 2 2 Yarıçap 4 br olmalıdır. k r 4 16 dır. 2k 32 olur. (x 32) (y 4) 16 çemberinin merkezi (32, 4) noktasıdır. Not: 2 2 2 (x a) (y b) r çemberinde r a ise bu çember y eksenine teğettir. Örnek: 2 2 (x k) (y 2k) k 2 çemberi y eksenine teğet ise, k nın alabileceği değerleri bulunuz. Çözüm: 2 2 2 2 2 r 2 2 r k olmalıdır. Kare alalım. r k (x k) (y 2k) k 2 k 2 k 0 k k 2 0 (k 2)(k 1) k 2 veya k 1 dir. Not: 2 2 2 (x a) (y b) r çemberinde a b r ise, bu çember iki eksene de teğettir. Örnek: www.matematikkolay.net 2 2 (x a) (y 8 3a) 5a 4 çemberi her iki eksene teğet ise a kaçtır? Çözüm: Merkezi (a, 3a 8) dir. r 5a 4 tür. a 3a 8 5a 4 eşitliği sağlanırsa her iki eksene teğet olur. 5a 4 ten dolayı a negatif olamaz. a nın pozitif olduğunu bilerek a 3a 8 eşitliğini çözelim. a 3a 8 a 3a 8 v eya a 3a 8 8 2a 4a 8 4 a dır. a 2 dir. (a pozitif olmalıydı.) Cevap : a 4 tür. Not: Eksenlere teğet olan çemberlerin merkezleri y x ya da y x doğrusunun üzerindedir. Örnek: Merkezi 3x y 12 doğrusu üzerinde olup, her iki eksene de teğet olan çemberlerin s tandart denklemlerini bulunuz. Çözüm: 2 2 İlk önce 3x y 12 ile y x in ortak çözümünü bulalım. 3x x 12 4x 12 x 3 tür. O halde, bu çemberin merkezi (3, 3) tür. S tandart denklemi (x 3) (y 3) 9 dur. Sonra, 3x y 12 ile y x in ortak çözümünü bu 2 2 lalım. 3x ( x) 12 2x 12 x 6 dır. O halde, bu çemberin merkezi (6, 6) dır. S tandart denklemi (x 6) (y 6) 36 dır. Not: 2 2 2 2 2 2 0 0 Bir çemberin merkezi orijin olursa, denklemi (x a) (y b) r x y r olur. Not: 2 2 2 2 2 2 0 Bir çemberin merkezi x ekseni üzerinde olursa (x a) (y b) r (x a) y r olur. Not: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 0 Bir çemberin merkezi y ekseni üzerinde olursa (x a) (y b) r x (y b) r olur. ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 şeklindeki denklem gösterimine denir. Bu gösterime göre, D E Çemberin merkezi , dir. 2 2 1 Yarıçapı D E 4F dir. 2 çemberin genel denklemi Örnek: 2 2 x y 6x 4y 3 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz. Çözüm: 6 4 Merkez , 3, 2 dir. 2 2 1 1 Yarıçap 36 16 4( 3) 52 12 2 2 1 8 2 4 br dir. Not: 2 2 2 2 9 4 3 (9 4) olmalı olmalı 3 13 16 Çemberin genel denkleminden, tam kare ifadeler oluşturarak s tandart denkleme geçiş yapabiliriz. Üstteki örnek için bunu yapalım. x y 6x 4y 3 0 x 6x y 4y 0 (x 3 2 2 2 2 ) (y 2) 16 0 (x 3) (y 2) 16 M( 3, 2) ve r 4 br dir. Not: 2 2 Çemberin genel denkleminde x ve y nin katsayıları 1 olmalıdır. Örnek: 2 2 2x 2y 12x 20y 8 0 çemberinin yarıçapı kaç br dir? Çözüm: 2 2 2 2 2x 2y 12x 20y 8 0 denkleminde her tarafı 2’ye bölelim. x y 6x 10y 4 0 olur. 1 1 1 r 36 100 4.4 120 2 2 2 2 30 30 br dir. Not: Çember denkleminde xy li terim olmamalıdır. Örnek: 2 2 x y (2k 4)xy 6x 8y k 0 denklemi bir çembere ait ise, bu çemberin yarıçapı kaç br dir? Çözüm: 2 2 k 2 olmalıdır. 2 2 x y (2k 4) xy 6x 8y k 0 x y 6x 8y 2 0 1 1 1 r 36 64 4.2 100 8 92 2 2 2 1 2 2 23 23 br dir. Not: 2 2 Verilen denklemde ancak, x ve y li terimlerin katsayıları birbirine eşitse bu denklem bir çember belirtebilir. Örnek 2 2 (a 4)x (6 a)y 6x 5y 8 0 denklemi bir çembere ait ise, a kaçtır? Çözüm: a 4 6 a 2a 10 a 5 tir. Not: www.matematikkolay.net 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 denkleminde 1 r D E 4F idi. Eğer, 2 D E 4F 0 ise bu denklem bir çembere aittir. D E 4F 0 ise bu denklem bir noktaya aittir. D E 4F 0 ise bu denklem gerçek sayılar kümesi nde bir çember belirtmez. Örnek: 2 2 x y 4x 6y a 0 denklemi bir çembere ait ise, a’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Çözüm: 16 36 4a 0 olmalıdır. 52 4a 0 52 4a 13 a a tam sayı olarak en fazla 12 olabilir. DOĞRU İLE ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE KONUMU Not: (I.Yol) r : çemberin yarıçapı, d: çemberin merkezi ile doğru arasındaki uzaklık olmak üzere, Örnek: 2 2 (x 2) (y 3) 16 çemberi ile 3x 4y 5 0 doğrusunun birbirlerine göre konumu nedir? Çözüm: 2 2 11/5 4 Çemberin merkezi 2, 3 tür. Yarıçapı 4 tür. Merkezin doğruya uzaklığı (2, 3) (3x 4y 5 0) 3.2 4.3 5 6 12 5 11 d tir. 3 ( 4) 5 5 d ile r yi kıyaslayalım. d r olduğu için doğru, çemberi iki nok tada keser. Not: (II. Yol) Doğru ile çemberin ortak çözümünde diskriminant olmak üzere www.matematikkolay.net Örnek: 2 2 y x 1 doğrusu x y 4x 6y a 0 çemberine teğet ise a kaçtır? Çözüm: 2 2 2 2 2 2 Ortak çözümde 0 olmalıdır. Çember denkleminde y yerine x 1 yazalım. x (x 1) 4x 6(x 1) a 0 x x 2x 1 4x 6x 6 a 0 2x 4x 7 a 0 0 olmalıdır. 4 4.2.(7 a) 0 16 2 4.2.(7 a) 2 7 a a 5 tir. I.Yoldan Çözüm: 4 6 Çemberin merkezi , (2, 3) tür. 2 2 1 1 Yarıçapı 16 36 4( a) 52 4a 13 a dır. 2 2 M(2, 3) ün x y 1 0 doğrusuna olan uzaklığı 2 3 1 6 d 3 2 dir. 1 1 2 d r olmalıdır. 3 2 13 a 18 13 a a 5 olmalıdır. Not: d: Çemberin merkezi ile doğru arasındaki mesafe r : Çemberin yarıçapı olmak üzere, Doğru ile çember kesişmiyorsa, Doğrunun çembere en kısa mesafesi d r en uzun mesaf esi d r dir. Örnek: 2 2 3x 4y 10 0 doğrusunun (x 2) (y 1) 4 çemberine olan en kısa mesafesi kaç br dir? Çözüm: 2 2 M(2, 1) ve r 2 br dir. M(2, 1) in 3x 4y 10 0 doğrusuna olan uzaklığı 3.2 4.1 10 20 d 4 br dir. 3 4 5 En kısa mesafe 4 2 2 br dir.
