Çemberin Analitik İncelenmesi

r, bir pozitif gerçek sayı olmak üzere düzlemde, sabit bir M noktasından, r birim uzaklıktaki noktaların geometrik yerine çember denir.M noktasına çemberin merkezi, r gerçek sayısına ise çemberin yarıçapı denir.

Buna göre, merkezi M (a, b) yarıçapı r birim olan çem­berin standart denklemi:

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – a)² + (y – b)² = r² çember denkleminde parantezler açılırsa,

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = O elde edilir.

-2a = D, -2b = E, ve a² + b²-r² = F yerine yazılırsa çemberin genel enklemi:

Denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = O şeklinde verilen çemberde

D² + E² – 4F ifadesine çemberin diskriminantı denir.

=> D² + E² – 4F  > O   ise    denklem    çember belirtir.

=> D² + E² – 4F  = O   ise    denklem    bir nokta belirtir.

=> D² + E² – 4F  < 0   ise    denklem    çember belirtmez. (sanal çember belirtir)

P(x, y) noktası ile x² + y² + Dx + Ey + F = 0 çemberi verilsin.

P noktasını çember denkleminde yerine koyup elde edi­len sayıya k dersek

k > 0    => nokta çemberin dışında

k = 0    => nokta çemberin üzerinde

k < 0     => nokta çemberin içindedir.   

(x – a)² + (y – b)² = r² çemberi ile y = mx + n doğrusu­nun durumu incelenirken ortak çözüm yapılır. Ortak çö­zümde x e göre elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı

=>   Δ < 0 ise doğru çemberi kesmez.

=>   Δ = 0 ise doğru çembere teğettir.

=>   Δ > 0 ise doğru çemberi farklı iki noktada keser.

Çemberin herhangi bir noktasından geçen ve OA yer vektörüne dik olan doğruya bu noktadaki teğet doğrusu, yer vektö­rünü doğrultman kabul eden doğruya normal doğrusu denir.

Çember üzerindeki herhangi bir A noktasından geçen normal merkezden de geçer. Bundan dolayı, OA nın eğimi normalin eğimidir.