Binom

Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla

\displaystyle {{(x+y)}^{4}} gibi ifadelerin açılımını yaptığımızda terimlerin başına birtakım katsayılar gelir. Örneğin, \displaystyle {{(x+y)}^{4}}={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}y+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}+4x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}  tür. Terimlerin başında 1,4,6,4,1 katsayıları vardır. Bu katsayıları toplu olarak Pascal üçgeninde görebiliriz.

Pascal Üçgeni

Yukarıdaki örnek 4.derece bir örnek olduğu için, (4+1).satırdaki katsayılar geldi. Dolayısıyla n.derece bir ifadede (n+1). satırdaki katsayıların gelebileceğini söyleyebiliriz.


Biz bu katsayıları kombinasyon kullanarak da yazabiliriz.

Kombinasyon ile Pascal üçgeni

Örnek:

Pascal üçgeninin 8.satırındaki baştan 3.sayı kaçtır?

Cevabı Görmek için Tıklayınız.

8.satırındaki sayılar 7 nin kombinasyonları şeklinde ifade edilir. Baştaki sayı \displaystyle \left( \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right) dır. Dolayısıyla 3.sayı \displaystyle \left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right) olacaktır.

\displaystyle \left( \begin{array}{l}7\\2\end{array} \right)=\frac{{7.6}}{{2.1}}=21  dir.

Binom Özdeşliği

Pascal üçgenine dikkat edersek, her bir sayı üstündeki iki sayının toplamı ile oluşmuştur. Mesela 4+6=10 u oluşturmuştur.

Bunu kombinasyon ile ifade edersek \displaystyle \left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}5\\3\end{array} \right) ü oluşturmuştur. Bu durumu

\displaystyle \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}\text{ }n\\r+1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}n+1\\r+1\end{array} \right) şeklinde genelleştirebiliriz. Bu özdeşliğin adı da Binom Özdeşiliği dir.

Örnek:

\displaystyle \left( \begin{array}{l}10\\\text{ 8}\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}10\\\text{ }9\end{array} \right)=?

Çözüm

\displaystyle =\left( \begin{array}{l}11\\\text{ }9\end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}11\\\text{ 2}\end{array} \right)=\frac{{11.10}}{{2.1}}=55 tir.

Binom Katsayıları ile Alt küme Sayısı Arasındaki Benzerlik

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} in açılımındaki katsayılar, n elemanlı bir kümenin 0, 1, 2, … , n elemanlı alt küme sayıları ile aynıdır. Mesela,

\displaystyle {{(x+y)}^{3}} ün açılımındaki kat sayılar 1, 3, 3 ,1 şeklindedir. 3 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı \displaystyle \left( \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right)=1 dir. 1 elemanlı alt küme sayısı \displaystyle \left( \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right)=3 tür. 2 elemanlı alt küme sayısı \displaystyle \left( \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right)=3 tür. 3 elemanlı alt küme sayısı da \displaystyle \left( \begin{array}{l}3\\3\end{array} \right)=1 dir. 

Bir kümenin tüm alt kümelerinin \displaystyle {{2}^{n}} tane olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla

\displaystyle \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right)+\left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right)+...+\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right)={{2}^{n}} dir.

Alıştırma 1
Çözüm

Binom Açılımı

\displaystyle {{(x+y)}^{n}}=\left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right){{x}^{n}}+\left( \begin{array}{l}n\\1\end{array} \right){{x}^{{n-1}}}.{{y}^{1}}+\left( \begin{array}{l}n\\2\end{array} \right){{x}^{{n-2}}}.{{y}^{2}}+...+\left( \begin{array}{l}n\\n\end{array} \right){{y}^{n}}

şeklinde x’in azalan kuvvetlerine göre yazılmasına binom açılımı denir.

Örnek:  \displaystyle {{(x+y)}^{5}} in binom açılımını yapınız.

Çözüm

\displaystyle {{(x+y)}^{5}}=\left( \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right){{x}^{5}}+\left( \begin{array}{l}5\\1\end{array} \right){{x}^{4}}y+\left( \begin{array}{l}5\\2\end{array} \right){{x}^{3}}{{y}^{2}}+\left( \begin{array}{l}5\\3\end{array} \right){{x}^{2}}{{y}^{3}}+\left( \begin{array}{l}5\\4\end{array} \right)x{{y}^{4}}+\left( \begin{array}{l}5\\5\end{array} \right){{y}^{5}}

\displaystyle ={{x}^{5}}+5{{x}^{4}}y+10{{x}^{3}}{{y}^{2}}+10{{x}^{2}}{{y}^{3}}+5x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}

Örnek: \displaystyle {{(3x-2y)}^{4}} ün binom açılımını yapınız.

Çözüm

\displaystyle {{(3x-2y)}^{4}}=\left( \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right){{(3x)}^{4}}+\left( \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right){{(3x)}^{3}}(-2y)+\left( \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right){{(3x)}^{2}}{{(-2y)}^{2}}+\left( \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right){{(3x)}^{1}}{{(-2y)}^{3}}+\left( \begin{array}{l}4\\4\end{array} \right){{(-2y)}^{4}}

\displaystyle ={{(3x)}^{4}}+4.{{(3x)}^{3}}(-2y)+6.{{(3x)}^{2}}{{(-2y)}^{2}}+4.{{(3x)}^{1}}{{(-2y)}^{3}}+{{(-2y)}^{4}}

\displaystyle =81{{x}^{4}}-216{{x}^{4}}y+216{{x}^{2}}{{y}^{2}}-96x{{y}^{3}}+16{{y}^{4}} dir.

Kural: 

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} açılımında n + 1 tane terim vardır.

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak bulunur.

 

Örnek:

\displaystyle {{(2x-3)}^{{10}}} ifadesindeki terim sayısını, sabit terimi ve katsayılar toplamını bulunuz.

Çözüm

Derecesi 10 olduğundan 11 terim vardır.

Sabit terimi ise \displaystyle {{(0-3)}^{{10}}}={{3}^{{10}}} dur.

Katsayılar toplamı ise \displaystyle {{(2.1-3)}^{{10}}}={{(-1)}^{{10}}}=1 dir.

Kural:

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan (r+1). terim \displaystyle \left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right).{{x}^{{n-r}}}.{{y}^{r}} dir.

Örnek:

\displaystyle {{(2x-1)}^{6}} ifadesi x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 4.terim ne olur?

Çözüm

\displaystyle r+1=4\Rightarrow  \displaystyle r=3 tür. Buna göre,

\displaystyle =\left( \begin{array}{l}6\\3\end{array} \right)\text{.(2x}{{\text{)}}^{3}}\text{.(}-1{{\text{)}}^{3}}

\displaystyle =\frac{{6.5.4}}{{3.2.1}}\cdot 8{{x}^{3}}\cdot (-1)

\displaystyle =-160{{x}^{3}}   buluruz.

Not: 

\displaystyle {{(x+y)}^{n}} açılımındaki her terimdeki çarpanların üsleri toplamı n’e eşittir.

Alıştırma 2
Çözüm
Alıştırma 3
Çözüm
Alıştırma 4
Çözüm

Not: 

\displaystyle {{(x+y)}^{{2n}}} açılımındaki ortanca terim \displaystyle \left( \begin{array}{l}2n\\\text{ n}\end{array} \right).{{x}^{n}}.{{y}^{n}} dir.

Alıştırma 5
Çözüm
Alıştırma 6
Çözüm
Alıştırma 7
Çözüm

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)