Trigonometri-1

 

YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarları, başlangıç ve bitim şeklinde belirtilirse bu açı yönlü açı olur. 

Saat yönündeki açı negatif açıdır, tersi yönündeki açı da pozitiftir.


Örnek:

AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Açı ölçü birimi olarak sıklıkla derece ve radyan kullanılır.

Derece

Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açıya 1 derece denir ve 1° ile gösterilir. Dolayısıyla tam açı 360° dir. 

Dereceden de küçük açıları ifade etmek için dakika ve saniye kullanılır.

1° nin 1/60 ına 1 dakika denir ve 1′ ile gösterilir.

1′ nin 1/60 ına da 1 saniye denir ve 1” ile gösterilir.

Örnek:  3600 saniye kaç derecedir?

İlk önce kaç dakika olduğunu bulalım. 3600/60=60 dakikadır. 

Sonra kaç derece olduğunu bulalım. 60/60=1 derecedir. 

Örnek:  15159 saniye kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir?

Çözüm için Tıklayınız.

Örnek:  1,12° kaç saniyedir?

Çözüm

1 derece 3600 saniye ise,

1,12 x 3600=112 x 36 = 4032 saniyedir.

Alıştırma 1
Çözüm

Radyan

Bir çemberde yarıçap kadar yay gören merkez açıya 1 radyan denir.

1 radyan

Tam açı 2\pi radyan dır. O halde, 360° = 2\pi radyan dır. Buna dayanarak şu formülü üretebiliriz:

\frac{D}{{180}}=\frac{R}{\pi }

Örnek:  45° kaç radyandır?

Çözüm

\frac{{45}}{{180}}=\frac{R}{\pi }\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{1}{4}=\frac{R}{\pi }\text{ }\Rightarrow \text{ }4R=\pi \text{ }\Rightarrow \text{ }R=\frac{\pi }{4}  radyandır.

Not: Radyandan dereceye geçiş yaparken, \pi yerine 180° yazmak yeterlidir.

Örnek:  \frac{{3\pi }}{2} radyan kaç derecedir?

Çözüm

\frac{{3.180}}{2}=3.90=270{}^\circ dir.

ESAS ÖLÇÜ

Açıların, birim çember üzerinde denk geldikleri açıya esas ölçü denir. 

Esas ölçü [0{}^\circ ,\text{ }360{}^\circ ) aralığında ifade edilir. Radyan olarak ise [0,\text{ 2}\pi ) aralığında ifade edilir.

Esas ölçü daima pozitif yönlüdür. Negatif esas ölçü olamaz.

Esas Ölçü Hesaplama

Derece pozitif olarak verilmişse, açı 360° ye bölünür. Kalan açı esas ölçüdür.

Örnek: 750° nin esas ölçüsü nedir?

Çözüm

750=\underbrace{{30}}_{{Esas}}+\underbrace{{720}}_{{2.360}}\text{ }\Rightarrow Esas ölçüsü 30° dir.

Derece negatif olarak verilmişse, açı pozitifmiş gibi 360° ye bölünür. Kalan açı 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Örnek: -570° nin esas ölçüsü nedir?

Çözüm

I.Yol:

Açıyı pozitif 570° gibi düşünelim. 570’in 360’a bölümünden kalan 210 dur.

Bunu da 360 tan çıkartırsak, 360-210=150°  buluruz.

II.Yol:

\theta =\alpha +k.360 şeklinde yazarak

-570=\underbrace{{150}}_{{Esas}}+(-2).360\Rightarrow Esas ölçü 150°  dir.

Açı, radyan olarak verilmişse bu sefer 2\pi den kalana bakılır. Negatif ise, kalan 2\pi den çıkarılır.

Örnek: 21\pi ile -15\pi nin esas ölçüleri arasındaki fark nedir?

Çözüm

21’in 2’ye bölümünden kalan 1 dir. Dolayısıyla 21\pi nin esas ölçüsü \pi dir.

15’in 2’ye bölümünden kalan 1 dir. Açı negatif olduğu için, 2\pi den \pi yi çıkarırız. \pi olur. Bunun da esas ölçüsü \pi oldu.

İkisi arasındaki fark \pi\pi=0 dır.

 

Eğer radyan açı kesirli olarak verilmişse, paydaki sayı paydanın 2 katına bölünür. Kalan sayı \pi nin katsayısı olarak yazılınca bu kesir esas ölçüsü olur. Eğer açı negatif ise, bu kesir 2\pi den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Örnek: \frac{{14\pi }}{3} ün esas ölçüsü nedir?

Çözüm

Paydanın 2 katı 6 dır. 14’ün 6’ya bölümünden kalan 2 dir.

O halde esas ölçüsü \frac{{2\pi }}{3}  tür.

\left( {\frac{{14\pi }}{3}=\underbrace{{\frac{{2\pi }}{3}}}_{{Esas}}+2.2\pi } \right)

Örnek: -\frac{{23\pi }}{4} ün esas ölçüsü nedir?

Çözüm

Paydanın 2 katı 8 dir. 23’ün 8’e bölümünden kalan 5 tir.

Şimdi \frac{{5\pi }}{4} kesrini elde ettik. Ancak, açı negatif olduğu için bunu {2\pi } den çıkarmalıyız.

2\pi -\frac{{5\pi }}{4}=\frac{{8\pi }}{4}-\frac{{5\pi }}{4}=\frac{{3\pi }}{4} buluruz.

\left( {-\frac{{23\pi }}{4}=\underbrace{{\frac{{3\pi }}{4}}}_{{Esas}}+\left( {-3} \right).2\pi } \right)

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 

Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları

Bir dik üçgende, komşu dik kenarın hipotenüse oranı sinüs idi. Birim çember üzerinde ise, apsis (x) değeridir(Birim çemberin yarıçapı 1 olduğu için).

Sinüs ise, bir dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranı idi. Birim çemberde ise, ordinat (y) değeridir.

P(\cos \alpha ,\text{ }\sin \alpha) olarak ifade edebiliriz.

A noktasının koordinatları (cos0, sin0)=(1, 0)  dır.

B noktasının koordinatları (cos90, sin90)=(0, 1)  dir.

C noktasının koordinatları (cos180, sin180)=(-1, 0)  dir.

D noktasının koordinatları (cos270, sin270)=(0, -1)  dir.

Hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonu [-1, 1] kapalı aralığında değer alabilir. Bunun dışına çıkamazlar. Dolayısıyla en küçük değerleri -1, en büyük değerleri de 1 dir, diyebiliriz.

Örnek: f(x)=3cosx+2  fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Çözüm

cosx en az -1 olabilir. Dolayısıyla en küçük f(x)=3(-1)+2=-3+2=-1 dir.

cosx en fazla 1 olabilir. Dolayısıyla en büyük f(x)=3.1+2=3+2=5 tir.  O halde,

Görüntü kümesi: [-1, 5] aralığıdır.

Bölgelere göre, sinüs ve kosinüsün işareti

Alıştırma 2
Çözüm

Tanjant Fonksiyonu

Dik üçgende, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı bize tanjantı veriyordu.

Birim çemberde ise, açının x=1 doğrusu üzerinde kestiği noktanın ordinatıdır(Komşu dik kenar 1 birim olduğu için).

Dik üçgende, komşu dik kenarın karşı dik kenara oranı bize kotanjantı veriyordu(Tanjantın tam tersi).

Birim çemberde ise, açının y=1 doğrusu üzerinde kestiği noktanın apsisidir(Karşı dik kenar 1 birim olduğu için).

Alıştırma 3
Çözüm

Not:  Hem tanjant hem de kotanjant \displaystyle (-\infty ,\infty ) aralığında her değeri alabilir.

Not: tanjant ve kotanjantın bölgelere göre işaretleri aynıdır. 1. ve 3. bölgede pozitif(+) ,  2.ve 4. bölgede ise negatif (-) tir. Ayrıca sinüs ve kosinüsten de işaretlerine karar verilebilir. \displaystyle \left( {\tan \alpha =\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\text{ }\cot \alpha =\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)

Mesela tan300’ün işaretini bulalım. 300 derece 4.bölgededir. sin300=- dir. cos300=+ dır.  (-) nin (+) ya bölümü negatif olacağı için tan300=- dir.

Hatırlatma: \displaystyle \tan \alpha .\cot \alpha =1 dir. (Birbirinin tersi oldukları için)

Alıştırma 4
Çözüm
Alıştırma 5
Çözüm

Hatırlatma: Bazı özel açıların trigonometrik oranları, dik üçgen çizilerek bulunabileceği gibi, sıklıkla kullanılacağı için ezbere bilmekte yarar var.

Not: Birim çemberin denklemi \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 dir. Dolayısıyla \displaystyle {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 yazabiliriz.

Alıştırma 6
Çözüm

KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU

Birim çember üzerindeki açının kestiği noktada teğeti çizilirse, bu doğru x ve y eksenlerini kesecektir. x eksenini kestiği noktaya sekant (sec),  y eksenini kestiği noktaya kosekant (cosec) denir.

Not:  \displaystyle \sec x=\frac{1}{{\cos x}}    ve    \displaystyle \cos ecx=\frac{1}{{\sin x}}  dır.

Not: cosx=0 olduğu durumlarda secx tanımsızdır. sinx=0 olduğu durumlarda da cosecx tanımsızdır. 

Not: cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

Örnek: \displaystyle \frac{{\sec 60}}{{\cos e{{c}^{2}}60}} kaçtır?

Çözüm

\displaystyle \sec 60=\frac{1}{{\cos 60}}=\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=2 dir.

\displaystyle \cos ec60=\frac{1}{{\sin 60}}=\frac{1}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}} tür.

O halde,

\displaystyle \frac{{\sec 60}}{{\cos e{{c}^{2}}60}}=\frac{2}{{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt{3}}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{2}{{\frac{4}{3}}}=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2} dir

Alıştırma 7
Çözüm
Alıştırma 7
Çözüm