Trigonometri Konu Anlatımı (11.Sınıf)

Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla

YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarları, başlangıç ve bitim şeklinde belirtilirse bu açı yönlü açı olur.

Saat yönündeki açı negatif açıdır, tersi yönündeki açı da pozitiftir.

Örnek:

AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Açı ölçü birimi olarak sıklıkla derece ve radyan kullanılır.

Derece

Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açıya 1 derece denir ve 1° ile gösterilir. Dolayısıyla tam açı 360° dir.

Dereceden de küçük açıları ifade etmek için dakika ve saniye kullanılır.

1° nin 1/60 ına 1 dakika denir ve 1′ ile gösterilir.

1′ nin 1/60 ına da 1 saniye denir ve 1” ile gösterilir.

Örnek: 3600 saniye kaç derecedir?

İlk önce kaç dakika olduğunu bulalım. 3600/60=60 dakikadır.

Sonra kaç derece olduğunu bulalım. 60/60=1 derecedir.

Örnek: 15159 saniye kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir?

Çözüm için Tıklayınız.

Örnek: 1,12° kaç saniyedir?

Çözüm

1 derece 3600 saniye ise,

1,12 x 3600=112 x 36 = 4032 saniyedir.

Alıştırma 1

Çözüm

Radyan

Bir çemberde yarıçap kadar yay gören merkez açıya 1 radyan denir.

Tam açı $2\pi$ radyan dır. O halde, 360° = $2\pi$ radyan dır. Buna dayanarak şu formülü üretebiliriz:

$\frac{D}{{180}}=\frac{R}{\pi }$

Örnek: 45° kaç radyandır?

Çözüm

$\frac{{45}}{{180}}=\frac{R}{\pi }\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{1}{4}=\frac{R}{\pi }\text{ }\Rightarrow \text{ }4R=\pi \text{ }\Rightarrow \text{ }R=\frac{\pi }{4}$ radyandır.

Not: Radyandan dereceye geçiş yaparken, $\pi$ yerine 180° yazmak yeterlidir.

Örnek: $\frac{{3\pi }}{2}$ radyan kaç derecedir?

Çözüm

$\frac{{3.180}}{2}=3.90=270{}^\circ$ dir.

ESAS ÖLÇÜ

Açıların, birim çember üzerinde denk geldikleri açıya esas ölçü denir.

Esas ölçü $[0{}^\circ ,\text{ }360{}^\circ )$ aralığında ifade edilir. Radyan olarak ise $[0,\text{ 2}\pi )$ aralığında ifade edilir.

Esas ölçü daima pozitif yönlüdür. Negatif esas ölçü olamaz.

Esas Ölçü Hesaplama

Derece pozitif olarak verilmişse, açı 360° ye bölünür. Kalan açı esas ölçüdür.

Örnek: 750° nin esas ölçüsü nedir?

Çözüm

$750=\underbrace{{30}}_{{Esas}}+\underbrace{{720}}_{{2.360}}\text{ }\Rightarrow$ Esas ölçüsü 30° dir.

Derece negatif olarak verilmişse, açı pozitifmiş gibi 360° ye bölünür. Kalan açı 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Örnek: -570° nin esas ölçüsü nedir?

Çözüm

I.Yol:

Açıyı pozitif 570° gibi düşünelim. 570’in 360’a bölümünden kalan 210 dur.

Bunu da 360 tan çıkartırsak, 360-210=150° buluruz.

II.Yol:

$\theta =\alpha +k.360$ şeklinde yazarak

$-570=\underbrace{{150}}_{{Esas}}+(-2).360\Rightarrow$ Esas ölçü 150° dir.

Açı, radyan olarak verilmişse bu sefer $2\pi$ den kalana bakılır. Negatif ise, kalan $2\pi$ den çıkarılır.

Örnek: $21\pi$ ile $-15\pi$ nin esas ölçüleri arasındaki fark nedir?

Çözüm

21’in 2’ye bölümünden kalan 1 dir. Dolayısıyla $21\pi$ nin esas ölçüsü $\pi$ dir.

15’in 2’ye bölümünden kalan 1 dir. Açı negatif olduğu için, $2\pi$ den $\pi$ yi çıkarırız. $\pi$ olur. Bunun da esas ölçüsü $\pi$ oldu.

İkisi arasındaki fark $\pi$ – $\pi$ =0 dır.

Eğer radyan açı kesirli olarak verilmişse, paydaki sayı paydanın 2 katına bölünür. Kalan sayı $\pi$ nin katsayısı olarak yazılınca bu kesir esas ölçüsü olur. Eğer açı negatif ise, bu kesir $2\pi$ den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Örnek: $\frac{{14\pi }}{3}$ ün esas ölçüsü nedir?

Çözüm

Paydanın 2 katı 6 dır. 14’ün 6’ya bölümünden kalan 2 dir.

O halde esas ölçüsü $\frac{{2\pi }}{3}$ tür.

$\left( {\frac{{14\pi }}{3}=\underbrace{{\frac{{2\pi }}{3}}}_{{Esas}}+2.2\pi } \right)$

Örnek: $-\frac{{23\pi }}{4}$ ün esas ölçüsü nedir?

Çözüm

Paydanın 2 katı 8 dir. 23’ün 8’e bölümünden kalan 7 dir.

Şimdi $\frac{{7\pi }}{4}$ kesrini elde ettik. Ancak, açı negatif olduğu için bunu ${2\pi }$ den çıkarmalıyız.

$2\pi -\frac{{7\pi }}{4}=\frac{{8\pi }}{4}-\frac{{7\pi }}{4}=\frac{{\pi }}{4}$ buluruz.

$\left( {-\frac{{23\pi }}{4}=\underbrace{{\frac{{\pi }}{4}}}_{{Esas}}+\left( {-3} \right).2\pi } \right)$

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları

Bir dik üçgende, komşu dik kenarın hipotenüse oranı sinüs idi. Birim çember üzerinde ise, apsis (x) değeridir(Birim çemberin yarıçapı 1 olduğu için).

Sinüs ise, bir dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranı idi. Birim çemberde ise, ordinat (y) değeridir.

P( $\cos \alpha ,\text{ }\sin \alpha$ ) olarak ifade edebiliriz.

A noktasının koordinatları (cos0, sin0)=(1, 0) dır.

B noktasının koordinatları (cos90, sin90)=(0, 1) dir.

C noktasının koordinatları (cos180, sin180)=(-1, 0) dir.

D noktasının koordinatları (cos270, sin270)=(0, -1) dir.

Hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonu [-1, 1] kapalı aralığında değer alabilir. Bunun dışına çıkamazlar. Dolayısıyla en küçük değerleri -1, en büyük değerleri de 1 dir, diyebiliriz.

Örnek: f(x)=3cosx+2 fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Çözüm

cosx en az -1 olabilir. Dolayısıyla en küçük f(x)=3(-1)+2=-3+2=-1 dir.

cosx en fazla 1 olabilir. Dolayısıyla en büyük f(x)=3.1+2=3+2=5 tir. O halde,

Görüntü kümesi: [-1, 5] aralığıdır.

Bölgelere göre, sinüs ve kosinüsün işareti

Alıştırma 2

Çözüm

Tanjant Fonksiyonu

Dik üçgende, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı bize tanjantı veriyordu.

Birim çemberde ise, açının x=1 doğrusu üzerinde kestiği noktanın ordinatıdır(Komşu dik kenar 1 birim olduğu için).

Dik üçgende, komşu dik kenarın karşı dik kenara oranı bize kotanjantı veriyordu(Tanjantın tam tersi).

Birim çemberde ise, açının y=1 doğrusu üzerinde kestiği noktanın apsisidir(Karşı dik kenar 1 birim olduğu için).

Alıştırma 3

Çözüm

Not: Hem tanjant hem de kotanjant $\displaystyle (-\infty ,\infty )$ aralığında her değeri alabilir.

Not: tanjant ve kotanjantın bölgelere göre işaretleri aynıdır. 1. ve 3. bölgede pozitif(+) , 2.ve 4. bölgede ise negatif (-) tir. Ayrıca sinüs ve kosinüsten de işaretlerine karar verilebilir. $\displaystyle \left( {\tan \alpha =\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\text{ }\cot \alpha =\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)$

Mesela tan300’ün işaretini bulalım. 300 derece 4.bölgededir. sin300=- dir. cos300=+ dır. (-) nin (+) ya bölümü negatif olacağı için tan300=- dir.

Hatırlatma: $\displaystyle \tan \alpha .\cot \alpha =1$ dir. (Birbirinin tersi oldukları için)

Alıştırma 4

Çözüm

Alıştırma 5

Çözüm

Hatırlatma: Bazı özel açıların trigonometrik oranları, dik üçgen çizilerek bulunabileceği gibi, sıklıkla kullanılacağı için ezbere bilmekte yarar var.

Not: Birim çemberin denklemi $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ dir. Dolayısıyla $\displaystyle {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$ yazabiliriz.

Alıştırma 6

Çözüm

KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU

Birim çember üzerindeki açının kestiği noktada teğeti çizilirse, bu doğru x ve y eksenlerini kesecektir. x eksenini kestiği noktaya sekant (sec), y eksenini kestiği noktaya kosekant (cosec) denir.

Not: $\displaystyle \sec x=\frac{1}{{\cos x}}$ ve $\displaystyle \cos ecx=\frac{1}{{\sin x}}$ dır.

Not: cosx=0 olduğu durumlarda secx tanımsızdır. sinx=0 olduğu durumlarda da cosecx tanımsızdır.

Not: cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

Örnek: $\displaystyle \frac{{\sec 60}}{{\cos e{{c}^{2}}60}}$ kaçtır?

Çözüm

$\displaystyle \sec 60=\frac{1}{{\cos 60}}=\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=2$ dir.

$\displaystyle \cos ec60=\frac{1}{{\sin 60}}=\frac{1}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$ tür.

O halde,

$\displaystyle \frac{{\sec 60}}{{\cos e{{c}^{2}}60}}=\frac{2}{{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt{3}}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{2}{{\frac{4}{3}}}=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ dir

Alıştırma 7

Çözüm

Alıştırma 7

Çözüm

2.Sayfaya Geçmek için Tıklayınız.

Sayfalar: 1 2 3 4