Kümeler

Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla

İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir.

Örnek: “İyi oyuncular” küme belirtmez. Çünkü kişiden kişiye değişir.


Örnek: “10 dan küçük asal sayılar” küme belirtir. Çünkü iyi tanımlanmıştır. Bu kümenin elemanları da 2,3,5 ve 7 dir.

Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Elemanları ise genellikle küçük harflerle gösterilir.

Örnek: A={a, b, c} 

Yukarıdaki kümede a elemanı A kümesinin elemanı olduğu için a\in A şeklinde gösterilir(“a elemanıdır A” şeklinde okunur). 

d ise bu kümenin elemanı değildir, d \displaystyle \notin A şeklinde gösterilir.

Kümenin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Yukarıdaki küme için s(A)=3 tür.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } parantezi içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

Örnek: A = {a, b, c, {a, b, c}} şeklindeki gösterim liste yöntemidir. Eleman sayısı ise, s(A) = 4 tür. ({a, b, c} nin tamamı 1 elemandır.)

2. Venn Şeması Yöntemi

Kapalı bir eğri içinde, elemanların önünde birer nokta koyularak gösterilir. 

Örnek: 25’i bölen pozitif tam sayıları gösterelim.

3. Ortak Özelik Yöntemi

Kümedeki elemanların ortak özelliklerini kullanarak yazma biçimidir.

Örnek: 0,1,2,3,4,5,6,…,98,99  sayılarını ortak özellik yöntemi ile A={x| x<100, x doğal sayı} şeklinde gösterebiliriz. “x öyle ki 100 den küçük doğal sayıdır.” şeklinde okunabilir. Yani “|” sembolü “öyle ki” anlamında kullanılır.

Örnek: \displaystyle A\text{ }=\text{ }\{x|\text{ }{{\text{x}}^{2}}+1<25,\text{ x tam say }\!\!\imath\!\!\text{ }\} olduğuna göre s(A) kaçtır?

Çözüm için Tıklayınız.

\displaystyle {{x}^{2}}+1<25

\displaystyle {{x}^{2}}<24 tür.

Buna göre 1,2,3,4 ve -1,-2,-3,-4 bu kümenin elemanlarıdır. O halde s(A)=8 dir.

Örnek: \displaystyle B=\{x|\text{ }x\le 75,\text{ }x=5k,\text{ }k\in {{Z}^{+}}\}\text{ }ise\text{ }s(B)=?

Çözüm için Tıklayınız.

75 ten küçük 5’in katı olan pozitif tam sayılar, bu kümenin elemanlarıdır. Yani 5,10,15,…,75  tir. 

Terim Sayısı=\displaystyle \frac{{Son\text{ Terim}-\dot{I}lk\text{ Terim}}}{{Art\imath s\text{ Miktar }\!\!\imath\!\!\text{ }}}+1=\displaystyle \frac{{75-5}}{5}+1=\frac{{70}}{5}+1=14+1=15 tir. O halde,

s(B)=15 tir.

EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C ≡ D biçiminde gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir.
Not: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

ALT KÜME – ÖZALT KÜME

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

Alt Küme

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A ⊂ B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C⊄ D biçiminde gösterilir.

Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

Alt Kümenin Özelikleri

i) Her küme kendisinin alt kümesidir.
    A ⊂ A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
    Ø ⊂ A
iii) (A ⊂ B ve B ⊂ A) ⇔ A = B dir.
ıv) (A ⊂ B ve B ⊂ C) ise, A ⊂ C dir.
v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2^n ve özalt kümelerinin sayısı 2^{n-1} dir.

Not: Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin,

         • alt kümelerinden 2^{n-1} tanesinde a bulunmaz.

         • alt kümelerinden 2^{n-1} tanesinde a bulunur.

n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı alt kümelerinin sayısı,

konu_kumeler_10 dir.

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir.

 konu_kumeler_11

n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir. 

konu_kumeler_12

n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir.

 konu_kumeler_14

n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2^n olduğu için,

konu_kumeler_13

KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ∪ B biçiminde gösterilir.

Kümelerin Birleşimi

A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B} dir.

konu_kumeler_2

konu_kumeler_3

F ⊂ E ise, E ∪ F = E dir.

Birleşim İşleminin Özelikleri

a) A ∪ Ø = A
b) A ∪ A = A
c) A ∪ B = B ∪ A
d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
e) A ⊂  B ise, A ∪ B = B
f) A ∪ B = Ø ise, (A = Ø ve B = Ø) dir.

Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.
A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B} dir.

konu_kumeler_4

konu_kumeler_5

F ⊂ E ise, E ∩ F = F dir.

Kesişim İşleminin Özelikleri
a) A ∩ Ø = Ø
b) A ∩ A = A
c) A ∩ B = B ∩ A
d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

konu_kumeler_6
E ∩ A = A dır. E ∪ A = E dir. A ⊂ E dir. B ⊂ E dir.

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve konu_kumeler_17 ya da A’ ile gösterilir.

A’ = {x : x ∈ E ve x ∉ A, A ⊂ E} dir.

Tümleyenin Özelikleri

1. Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir. Buna göre, (A’)’ = A olur.
2. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Buna göre, E’ = Ø olur.
3. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Buna göre, Ø’ = E olur.
4. Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Buna göre, s(A) + s(A’) = s(E) olur.
5. A ⊂ B ise, B’ ⊂ A’ dir.
6. B’ ⊂ A’ ise, A ⊂ B dir.
7. E, evrensel küme olmak üzere, A ∪ A’ = E dir.
8. A ∩ A’ = Ø dir.
9. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
10. (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
11. E, evrensel küme olmak üzere, E ∪ A’ = E dir.
12. E, evrensel küme olmak üzere, E ∩ A’ = A’ dir.

KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2^n dir.

İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A\B biçiminde gösterilir.

A – B = {x : x ∈ A ve x ∉ B} dir.

konu_kumeler_7

Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
i) E – A = A’
ii) A – B = A ∩ B’
iii) (A – B)’ = A’ ∪ B dir.
iv) (A – B) ∪ (B – A) = A \Delta B (Simetrik Fark)

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
2. s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C)– s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
3. s(A ∪ B) = s(A – B) + s(A ∩ B) + s(B – A)
4. a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T ∩ V) = b olsun.

konu_kumeler_8

Şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T ∪ V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T’) = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T ∪ V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

konu_kumeler_16

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

konu_kumeler_15

Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur.

konu_kumeler_9

Apartmandakilerin kümesi K, A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, C gazetesini alanların kümesi C olmak üzere, yandaki şemada x, y, z, t bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir

Kaynak: www.derscalisiyorum.com

Çözümlü Sorular veya Çıkmış Sorular için Tıkla