Diziler

DİZİ KAVRAMI

---

ARİTMETİK DİZİLER

---

GEOMETRİK DİZİLER

---

Toplam Sembolü

---

Fibonacci

---

DİZİLER KONU NOTLARI www.matematikkolay.net Dizi Kavramı n 1 2 n Tanım kümesi pozitif tam sayılar olan her fonksiyona denir. Yani (a ) dizisinde n sayısı 1 den başlar. 1.terim a 2.terim a … n.terim a dir. dizi 2 Gerçek sayı dizisinin tanım kümesi Z dır. 5 de n yerine 4 yazamayız. Bu sebeple dizi n 4 belirtmez. 11 de n yerine rahalıkla 1, 2, 3, … gibi pozitif n 1 tam sayıları yazabiliri Not : Örnek : z. Dolayısıyla bir dizi belirtir. n n’ye bağlı olmayan, her terimi eşit olan diziye sabit dizi denir. (a ) 5 Her terimi 5 tir. Not : Örnek : Kesirli bir ifadenin sabit olması için, aynı dereceli terimlerin katsayıları arasındaki oran birbirine eşit olmalıdır. an b a b k sabit ise dir. cn d c d Not : n n n n Eşit dizilerin genel terimleri birbirine eşittir. (a ) 3n y ve (b ) xn 5 olsun. (a ) (b ) ise x 3 ve y 5 tir. Not : Örnek : n 1 n Bir terimin, kendinden önceki terimlerle ifade edildiği dizilere indirgemeli diziler denir. a a 4 Not : Örnek : 2 3 2 n n 3 2 n n Dizilerin genel terimleriyle 4 işlem yapılabilir. (a ) 6 n ve (b ) n 3n 5 olsun. (a ) (b ) n 2n 11 dir. Not : Örnek : 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 3 4 5 1 den n’ye kadar olan sayıların toplamı şeklinde ifade edilen sayılara denir. n(n 1) Bu dizinin genel terimi dir. 2 1, 3 , 6 , 10 , 15 , … 1, 4, 9, Not : üçgensel sayılar 2 ardışık kar üçgen sayılar … tam kare sayılar şeklinde giden sayılara da denir. Bu dizinin genel terimi de n dir. Ayrıca, ardışık iki üçgensel sayının toplamı bir kare sayıdır. 6 10 16 kare sayılar Örnek : e sayı ARİTMETİK DİZİLER n 1 n ortak fark n 1 n Ardışık iki terimi arasındaki farkın eşit olduğu dizilere aritmetik diziler denir. a a d yazabiliriz. Genel terimi a a (n 1).d dir. (a ) 1, 4, 7, 11, …, 2 3n , … bir ari Örnek : tmetik dizidir. Ardışık iki terimi arasındaki fark eşittir (3). www.matematikkolay.net 5 7 7 5 Bir aritmetik dizide x. ve y. terimleri biliyorsak, ortak farkı şu şekilde hesaplayabiliriz. a 6 ve a 10 olsun. a a 10 6 4 d 2 dir. 7 5 2 2 Not : Örnek : y x 100 106 1 Bir aritmetik dizide ortak farkı biliyorsak, y.terimi x.terimden bulabiliriz. a a (y x).d dir. a 212 ve d 5 olsun. a ? a Not : Örnek : 06 212 (106 100).5 212 30 242 dir. n p n p n n p n p n 4 Aritmetik dizide bir terim, kendinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. a a a 2 Veya şu şekilde de yazabiliriz: a a 2a dir. a 10 v Not : Örnek : 8 6 e a 12 olsun. 10 12 a 11 dir. 2 1 n 2 n 1 3 n 2 Sonlu bir aritmetik dizide, baş tan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir. a a a a a a … Ayrıca indisleri toplamı eşit olan iki terimin toplamı da birbiri Not : x y p k 100 5 95 10 ne eşittir. x y p k ise a a a a dır. a a a a dur. Örnek : n 1 n n 1 n 1 Aritmetik dizide ilk n terim toplamı n S a a dir. 2 a yerine a (n 1)d yazarak formülü değiştirebiliriz. n S 2a (n 1)d olur. 2 1 5 9 13 17 ? İlk terim 1 Ortak f Not : Örnek : 5 5 arkı 4 2.1 (5 1).4 2 16 45 2 2 Terim sayısı 5 Ardışık sayılarda, Son Terim İlk Terim Terim Sayısı= 1 dir. Artış Miktarı Not : GEOMETRİK DİZİ n 1 n ortak çarpan n 1 n 1 n Ardışık iki terimi arasındaki oranın eşit olduğu dizi￾lere geometrik diziler denir. a r yazabiliriz. a Genel terimi a a .r dir. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 3 , … Örnek : p k p k 7 12 5 Bir geometrik dizide, p. ve k. terimler arasında a a .r bağıntısı vardır. a a .r dir. Not : Örnek : 2 p p k p k 2 5 2 8 Geometrik dizide bir terimin karesi, kendinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. a a .a dır. (a ) a .a dir. Not : Örnek : www.matematikkolay.net ÇÖZÜM: 1 n 2 n 1 3 n 2 Sonlu bir geometrik dizide, baş tan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir. a a a a a a … Ayrıca indisleri toplamı eşit olan iki terimin çarpımı da birbiri Not : x y p k 9 11 8 12 ne eşittir. x y p k ise a a a a dır. a .a a .a dir. Örnek : n n 1 6 Geometrik dizide ilk n terim toplamı 1 r S a dir. (r 1) 1 r 1 2 4 8 16 32 ? İlk terim 1 1 2 63 Ortak çarpan 2 1 63 tür. 1 2 1 Terim sayısı 6 Not : Örnek : TOPLAM SEMBOLÜ Üst Sınır indis Alt sınır n 1 2 3 n k k 1 Dizinin kuralı n k k k 1 5 k 1 a a a … a toplamını a olarak ifade edebiliriz. k 1 den n’e kadar a terimlerinin a toplamıdır. Mesela 2k 2 4 6 8 10 d ur. 0’a yakın- laşır n n k 1 1 1 k 1 k n k 1 Geometrik dizilerde ortak çarpan r 1 olursa, bu dizinin toplamı gerçek bir sayıya yakınlaşır. n sonsuza gittikçe, 1 r a a .r olur. 1 r 1 r 1 ? 2 Not : Örnek : k k 1 1 1 2 1 olur. 2 1 1 2 Fibonacci n İlk iki terimi 1 olup; daha sonraki her terimin, kendinden önceki iki terimin toplamı şeklinde olan diziye denir. Parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki gibi yazabiliriz. 1 n 1,n 2 F Fibonacci dizisi n 1 n 2 F F n 2 Buna göre, Fibonacci dizisini açarak yazalım. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 21, 34, 55, 89, … şeklindedir.