Üçgende Alan Konu Anlatımı | Matematik

Üçgende Alan


ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]

\displaystyle A(ABC)=\frac{{{{h}_{a}}\cdot a}}{2}

Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

A(ABC)=\frac{{{{h}_{a}}\cdot a}}{2}=\frac{{{{h}_{b}}\cdot b}}{2}=\frac{{{{h}_{c}}\cdot c}}{2}

Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.

\displaystyle A(ABC)=\frac{{{{h}_{a}}\cdot a}}{2}

Dik Üçgende Alan

Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

A(ABC)=\frac{{a\cdot c}}{2}

Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;

A(ABC)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin \alpha

Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;

A(ABC)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin \alpha =A(ABC)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin (180-\alpha )

|BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.

Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır.ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.

 

Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;

ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c ; Çevrenin yarısına u dersek

u=\frac{{a+b+c}}{2}\text{    ;      }A(ABC)=\sqrt{{u.(u-a).(u-b).(u-c)}}

Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.

A(BOC)=\frac{{a.r}}{2}\text{     };\text{  }A(AOC)=\frac{{b.r}}{2}\text{     };\text{  }A(AOB)=\frac{{c.r}}{2}\text{     };\text{ }

A(ABC)=\frac{{a.r}}{2}+\frac{{b.r}}{2}+\frac{{c.r}}{2}\text{ }

u=\frac{{a+b+c}}{2}\text{ }

A(ABC)=u.r

Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

{{h}_{a}},\text{ }{{h}_{b}},\text{ }{{h}_{c}}\text{  }\Rightarrow \text{  }\frac{1}{r}=\frac{1}{{{{h}_{a}}}}+\frac{1}{{{{h}_{b}}}}+\frac{1}{{{{h}_{c}}}}

ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|

Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.

A(ABC)=\frac{{a.b.c}}{{4R}}

 

Orta Dikme

Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.[EA, a kenarının [FO, b kenarının [DO, c kenarının orta dikmeleridir.

O noktası çevrel çemberin merkezidir.

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.

A(ABC)=\frac{{x.h}}{2}\text{   ;   }A(ACD)=\frac{{y.h}}{2}

\frac{{A(ABC)}}{{A(ACD)}}=\frac{x}{y}

 

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr
Düzenleme: www.matematikkolay.net