Türev Konu Anlatımı | Matematik

Türev

 

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun {{x}_{0}} daki türevi denir.

\displaystyle Ve\text{ }f'\left( {{{x}_{0}}} \right),\text{ }Df\left( {{{x}_{0}}} \right)\text{ }ya\text{ }da\text{ }\frac{{df}}{{dx}}\text{(}{{\text{x}}_{0}}\text{) }ile\text{ }g\ddot{o}sterilir.\text{ }Buna\text{ }g\ddot{o}re,

x – x0 = h alınırsa x = x0  için h= 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 

SAĞDAN VE SOLDAN TÜREV

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

  1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.
  2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.
  3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.
  4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

 TÜREV ALMA KURALLARI

{{x}^{n}} in Türevi

c Sabit Sayısının Türevi

c × f(x) in Türevi

Toplamın Türevi

Farkın Türevi

Çarpımın Türevi

Bölümün Türevi


Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi



f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

 

Bileşke Fonksiyonun Türevi

f’(2) gösterimi [f(2)’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. Aynı değildir. Çünkü f’(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ’(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

Köklü Fonksiyonun Türevi

Logaritmik Fonksiyonun Türevi


Üstel Fonksiyonun Türevi



Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi

f’(x) in türevi olan

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir. Benzer şekilde,

ifadesine de y = f(x) in n.mertebeden türevi denir.

Ters Fonksiyonların Türevi

f: birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan fonksiyon bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr