Trigonometri-2 Konu Anlatımı | Matematik

Trigonometri-2

 

PERİYODİK FONKSİYONLAR

f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.

f:\text{ A}\to \text{B}

Her x\in A  için f(x+T)=f(x)

olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T\ne 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,

f(x) in periyodu k × T dir.

 

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI

olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2k\pi , tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu k\pi   dir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2\pi ; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu \pi   dir.

 

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

f(x)=a+b.{{\sin }^{m}}(cx+d),\text{  }g(x)=a+b.{{\cos }^{m}}(cx+d)

fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

Bu durumda,

 

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

f(x)=a+b.{{\tan }^{m}}(cx+d),\text{  }g(x)=a+b.{{\cot }^{m}}(cx+d) fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

Bu durumda,

f(x)=g(x)\pm h(x) fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşittir.

Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.

f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir. Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır. Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.

 

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

  1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.
  2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.
  3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa \nearrow  sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa \searrow sembolünü yazarız.
  4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.

SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

\displaystyle f:\text{ }\mathbb{R}\to [-1,1],\text{   }f(x)=\sin x

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

f:\text{ }\mathbb{R}\to [-1,1],\text{   }f(x)=\cos x

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

f:\text{ }\left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right]\to \left[ {-1,\text{ }1} \right],\text{   }f(x)=\sin x\text{  }fonksiyonu\text{ }bire\text{ }bir\text{ }ve\text{ }\ddot{o}rtendir.

\displaystyle f:\text{ }\left[ {0\text{ },\text{ }\pi } \right]\to \left[ {-1,\text{ }1} \right],\text{   }f(x)=\cos x\text{  }fonksiyonu\text{ }bire\text{ }bir\text{ }ve\text{ }\ddot{o}rtendir.

TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

\left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right]\text{  aral }\!\!\imath\!\!\text{  }\!\!\breve{\mathrm{g}}\!\!\text{  }\!\!\imath\!\!\text{ nda}\text{,   }f(x)=\tan x\text{  }

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

\left[ {0,\text{ }\pi } \right]\text{  aral }\!\!\imath\!\!\text{  }\!\!\breve{\mathrm{g}}\!\!\text{  }\!\!\imath\!\!\text{ nda}\text{,   }f(x)=\cot x\text{  }

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

f:\text{ }\left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right]\to \mathbb{R},\text{   }f(x)=\tan x\text{  }fonksiyonu\text{ }bire\text{ }bir\text{ }ve\text{ }\ddot{o}rtendir.

\displaystyle f:\text{ }\left[ {0\text{ },\text{ }\pi } \right]\to \mathbb{R},\text{   }f(x)=\cot x\text{  }fonksiyonu\text{ }bire\text{ }bir\text{ }ve\text{ }\ddot{o}rtendir.

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

ARKSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı \left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

f:\text{ }\left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right]\to [-1,1]

f(x)=sinx

fonksiyonunun tersi,

{{f}^{{-1}}}(x)={{\sin }^{{-1}}}x\text{   }veya\text{ }{{f}^{{-1}}}(x)=\arcsin x  şeklinde gösterilir ve

\arcsin x:\text{  }[-1,1]\to \left[ {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right]\text{   }dir.

ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı \left[ {0\text{ },\text{ }\pi } \right] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

f:\text{ }\left[ {0\text{ },\text{ }\pi } \right]\to [-1,1]

f(x)=cosx

fonksiyonunun tersi,

{{f}^{{-1}}}(x)={{\cos }^{{-1}}}x\text{   }veya\text{ }{{f}^{{-1}}}(x)=\arccos x  şeklinde gösterilir ve

\arccos x:\text{  }[-1,1]\to \left[ {0,\text{ }\pi } \right]\text{   }dir.

 

ARKTANJANT FONKSİYONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı \left( {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right) alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

f:\text{ }\left( {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right)\to \mathbb{R}

f(x)=tanx

fonksiyonunun tersi,

{{f}^{{-1}}}(x)={{\tan }^{{-1}}}x\text{   }veya\text{ }{{f}^{{-1}}}(x)=\arctan x şeklinde gösterilir ve

\arctan x:\text{  }\mathbb{R}\to \left( {-\frac{\pi }{2}\text{ },\text{ }\frac{\pi }{2}} \right)\text{   }dir.

 

ARKKOTANJANT FONKSİYONU

f(x) = cotx fonksiyonunun tanım aralığı \left( {0\text{ },\text{ }\pi } \right) alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

f:\text{ }\left( {0\text{ },\text{ }\pi } \right)\to \mathbb{R}

f(x)=cotx

fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir.

 

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.

sin(arcsinx) = x tir.

cos(arccosx) = x tir.

tan(arctanx) = x tir.

cot(arccotx) = x tir.

 

q = arcsinx ise, x = sinq dır.

q = arccosx ise, x = cosq dır.

q = arctanx ise, x = tanq dır.

q = arccotx ise, x = cotq dır.

 

 ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

SİNÜS TEOREMİ

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,

KOSİNÜS TEOREMİ

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

\displaystyle {{a}^{2}}\text{ }=\text{ }{{b}^{2}}\text{ }+\text{ }{{c}^{2}}-2.b.c.\cos A

\displaystyle {{b}^{2}}\text{ }=\text{ }{{a}^{2}}\text{ }+\text{ }{{c}^{2}}-2.a.c.\cos B

\displaystyle {{c}^{2}}\text{ }=\text{ }{{a}^{2}}\text{ }+\text{ }{{b}^{2}}-2.a.b.\cos C

ÜÇGENİN ALANI

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,