Parabol Konu Anlatımı | Matematik

Parabol

 

a\ne 0\text{   ve    a}\text{,b}\text{,c }\in \text{ }R olmak üzere f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir. Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yukarıdaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c fonksiyonunun tepe noktası  T(r, k) olmak üzere,

r=-\frac{b}{{2a}}\text{   }ve\text{   }k=f(r)=\frac{{4ac-{{b}^{2}}}}{{4a}}\text{   }d\imath r.

Parabol x=-\frac{b}{{2a}}\text{ } doğrusuna göre simetriktir.

x=-\frac{b}{{2a}}\text{ } doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y=a.{{(x-r)}^{2}}+k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün x eksenini kestiği noktalar A ve B, y eksenini kestiği nokta C olsun.

a{{x}^{2}}+bx+c ın kökleri  ve  ise A({{x}_{1}}, 0), B({{x}_{2}} , 0), C(0, c) dir.

a{{x}^{2}}+bx+c denkleminde;

\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0\text{ } ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.

\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0\text{ } ise, parabol x eksenini kesmez.

\Delta ={{b}^{2}}-4ac=0\text{ } ise, parabol x eksenine teğettir.

{{x}^{2}} NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

a<0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yukarıdaki parabollere göre, f deki {{x}^{2}} nin katsayısı, g deki {{x}^{2}} nin katsayısından büyüktür.

f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

 GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜNDENKLEMİNİN YAZILMASI

Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y=f(x)=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\text{    dir}\text{.}

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değeri yazılır.

Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y=f(x)=a{{(x-r)}^{2}}+k\text{    d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değeri yazılır.

Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

\displaystyle {{y}_{1}}=a{{x}_{1}}^{2}+b{{x}_{1}}+c

\displaystyle {{y}_{2}}=a{{x}_{2}}^{2}+b{{x}_{2}}+c

\displaystyle {{y}_{3}}=a{{x}_{3}}^{2}+b{{x}_{3}}+c

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

PARABOL İLE DOĞRUNUNDÜZLEMDEKİ DURUMU

y=a{{x}^{2}}+bx+c  parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

a{{x}^{2}}+bx+c=mx+n

a{{x}^{2}}+(b-m)x+c-n=0\text{  }.....\text{  (*)}

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;

\Delta >0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.

\Delta <0 ise, parabol ile doğru kesişmez.

\Delta =0 ise, parabol doğruya teğettir.

y=a{{x}^{2}}+bx+c parabolü ile y=d{{x}^{2}}+ex+f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.