Özel Üçgenler Konu Anlatımı | Matematik

Özel Üçgenler


ÖZEL DİK ÜÇGENLER

(3 – 4 – 5) Üçgeni

Kenar uzunlukları (3 – 4 – 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 – 8 – 10), (9 – 12 – 15), … gibi

(5 – 12 – 13) Üçgeni

Kenar uzunlukları (5 – 12 – 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 – 24 – 26), (15 – 36 – 39), … gibi.

(8 – 15 – 17) Üçgeni

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

(7 – 24 – 25) Üçgeni

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| =a\sqrt{2}  m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların \sqrt{2} katıdır.

(30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde ABH ve ACH (30° – 60° – 90°) üçgenleri elde edilir. |AB| = |AC| = a

\displaystyle \left| {BH} \right|\text{ }=\text{ }\left| {HC} \right|\text{ }=~\text{  }\frac{a}{2}

\displaystyle \text{Pisagordan }\left| {AH} \right|\text{ }=~\text{  }\frac{{a\sqrt{3}}}{2}

(30° – 60° – 90°) dik üçgeninde; 30°’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar, 30° nin karşısındaki \displaystyle \sqrt{3} kenarın katıdır.

(30° – 30° – 120°) Üçgeni

(30° – 30° – 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar  \displaystyle a\sqrt{3} olur.

(15° – 75° – 90°) Üçgeni

(15° – 75° – 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek,

Hipotenüs |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.

İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|, |BH| = |HC ,| m(B) = m(C)

Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|,  \displaystyle \left[ {AH} \right]\bot \left[ {BC} \right], m(B) = m(C)

Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC| , m(BAH) = m(HAC) , m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikiz kenarlara ait yüksekliği verir.

|AB| = |AC| ,  |LC| = |HP| + |KP|

İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

EŞKENAR ÜÇGEN

Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

\displaystyle {{n}_{A}}\text{ }=\text{ }{{n}_{B}}\text{ }=\text{ }{{n}_{C}}\text{ }=\text{ }{{V}_{a}}\text{ }=\text{ }{{V}_{b}}\text{ }=\text{ }{{V}_{c}}\text{ }=\text{ }{{h}_{a}}\text{ }=\text{ }{{h}_{b}}\text{ }=\text{ }{{h}_{c}}

Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yükseklik

h=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}

Bu durumda eşkenar üçgenin alanı

Alan\text{ }(ABCD)=\frac{{{{a}^{2}}\sqrt{3}}}{4}

Yükseklik cinsinden alan değeri

Alan\text{ }(ABCD)=\frac{{{{h}^{2}}}}{{\sqrt{3}}}

Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

h=\frac{{a\sqrt{3}}}{2}=\text{ }|PD|+|PE|+|PF|

Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr
Düzenleme: www.matematikkolay.net