Mutlak Değer Konu Anlatımı | Matematik

Mutlak Değer

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla

TANIM
Bir reel sayının, sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına sayının mutlak değeri denir.
Bir x reel sayısının mutlak değeri |x| biçiminde gösterilir.

konu_mutlak_deger_1
NOT: Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| \geq 0 dır.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

1.|x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2. |x . y| = |x| . |y|
3. |x^n| = |x|^n
4. y \neq 0 olmak üzere,

   \left \| \frac{x}{y} \right \| = \frac{\left \| x \right \|}{\left \| y \right \|}

5.  |x| – |y| \leq |x + y| \leq|x| + |y|
6. a \geq 0 ve x \in R olmak üzere,
   |x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

7. |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
8.  x değişken, a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
    |x – a| + |x – b| 
   ifadesinin en küçük değeri a \leq x \leq b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.
9. x değişken, a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve
    K = |x – a| – |x – b|
    olmak üzere,
   x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.
10. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
      a) |x| < a ise, –a < x < a dır.
      b) |x| \leq a ise, –a \leq x \leq a dır.
11. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
     a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.
     b) |x| \geq a ise, x \leq –a veya x \geq a dır.
   

• a < b ve c \in R^+ olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c
eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.
x + a = 0 ise, x = –a dır.
x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)
–b \leq x  , –b < x \leq –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b \leq x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b \leq x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x \leq –a ise, –x – a + x + b = c olur.
Bu denklemin kökü –b < x \leq –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

2. Yöntem

a < b ve c \in R^+ olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … (*)
eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.
(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,
(*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = [–b, –a] dır.

2. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,
(*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = \oslash dir.

3. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,
(*) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (*) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (*) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç {–b – D, –a + D} olur.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla