Limit Konu Anlatımı | Matematik

Limit

 

SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x\to {{a}^{-}} biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x\to {{a}^{+}} biçiminde gösterilir.

LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x)  b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

\underset{{x\to \text{ }{{a}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=b

şeklinde gösterilir.

 

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

\underset{{x\to \text{ }{{a}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=d

biçiminde gösterilir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

\underset{{x\to \text{ }a}}{\mathop{{\lim }}}\,f(x)=L

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x= a da limiti yoktur.

UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,


LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.







PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

f(x)=\frac{1}{{{{{(x-a)}}^{n}}}}\text{   }N\dot{I}N\text{  }x=a\text{ }daki\text{ }L\dot{I}M\dot{I}T\dot{I}

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

tanx in limiti

tanx fonksiyonu k\in \mathbb{Z} olmak üzere,

x\ne \frac{{(2k+1).\pi }}{2}

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

cotx in limiti

cotx  fonksiyonu, k\in \mathbb{Z} olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,


BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.




 

SÜREKLİLİK

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

 

  1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.
  2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.
  3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

 L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,

belirsizlikleri,

belirsizliklerinden birine dönüştürülerek, L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun. Her x\in (a,b) için \displaystyle g(x)\ne 0\text{  }ve\text{  }c\in (a,b) olmak üzere,


Eğer,

ise yukarıdaki kural bir daha uygulanır.

L’ Hospital kuralında, belirsizliği ortadan kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir.

\infty -\infty belirsizliğinde,

\infty -\infty =\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=\frac{0}{0}

{{0}^{0}},\text{ }\infty ,\text{ }{{1}^{\infty }} belirsizliklerinde, e tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.