Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Konu Anlatımı | Matematik

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla

SIRALI İKİLİ

İki tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı ikili denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.
a ≠ b ise, (a, b) ≠ (b, a) dır.(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} dir.
A ≠ B ise, A x B ≠ B x A dır.

KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELİKLERİ
• 1) s(A) = m ve s(B) = n ises(A x B) = s(B x A) = m x n dir.
• A x (B x C) = (A x B) x C
• A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
• (B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A)
• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
• (B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A)
• A x Ø = Ø x A = Ø

BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle β ile gösterilir.

β ⊂ A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) ∈ A x B} dir.

s(A) = m ve s(B) = n ise, A dan B ye 2^{mn} tane bağıntı tanımlanabilir.

A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r ≤ m . n) bağıntı sayısı

konu_kartezyen_1

β ⊂ A x B olmak üzere,β = {(x, y) : (x, y) ∈ A x B} bağıntısının tersi \beta^{-1} ⊂ B x A dır.
Buna göre, β bağıntısının tersi
\beta^{-1} = {(y, x) : (x, y) ∈ b} dır.

BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
β, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özeliği

A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) ∈ β ise, b yansıyandır.
∀ x ∈ A için, (x, x) ∈ β ise, β yansıyandır. (∀ : Her)

2. Simetri Özeliği

β bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) ∈ β  ise, β simetriktir.
∀ (x, y) ∈ β için (y, x) ∈ β ise, β simetriktir.

• b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir.

• s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı   sayısı 2^{\frac{n^2+n}{2}} dir.

• s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2^{n^2-n}} dir.

3. Ters Simetri Özeliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ≠ y iken ∀ (x, y) ∈ β için (y, x) ∈ β ise, β ters simetriktir.

β bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

4. Geçişme Özeliği

β, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
∀[(x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β] için (x, z) ∈ β ise,
β bağıntısının geçişme özeliği vardır.

Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan β = Ø bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır.

BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

β bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

1. Denklik Bağıntısı
β; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı β bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa β sıralama bağıntısıdır.

Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir

• β, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y) ∈ β ise x ve y elemanları β bağıntısına göre denktir denir ve x ≡ y şeklinde yazılır.

• β, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve konu_kartezyen_2şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi,
konu_kartezyen_2={ y: y ∈ A ve (x, y) ∈ β } olur.

 

Kaynak:  www.derscalisiyorum.com

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla