Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı | Matematik

Karmaşık Sayılar

 

KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

\sqrt{{-1}} sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir ve i=\sqrt{{-1}} veya {{i}^{2}}=-1 ile gösterilir.

Uyarı

 a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

\sqrt{{a.b}}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\text{    dir}\text{.}

\sqrt{{x.y}}\ne \sqrt{x}.\sqrt{y}\text{    dir}\text{.}

 

i NİN KUVVETLERİ

\sqrt{{-1}}=i    olmak üzere,

{{i}^{0}}=1\text{   dir}\text{.}

{{i}^{1}}=i\text{   dir}\text{.}

{{i}^{2}}=-1\text{   dir}\text{.}

{{i}^{3}}={{i}^{2}}.{{i}^{1}}=(-1).i=-i\text{ dir}\text{.}

{{i}^{4}}={{i}^{2}}.{{i}^{2}}=(-1).(-1)=1\text{ }dir.

{{i}^{5}}={{i}^{4}}.{{i}^{1}}=1.i=i\text{ }dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise {{i}^{x}}\text{ }  ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, {{i}^{x}}\text{ } ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, {{i}^{x}}\text{ } ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, {{i}^{x}}\text{ } ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

\displaystyle {{i}^{{4n}}}=1,

{{i}^{{4n+1}}}=i,

{{i}^{{4n+2}}}=-1,

{{i}^{{4n+3}}}=-i\text{  dir}\text{.}

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve i=\sqrt{{-1}}  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C} ile gösterilir. Buna göre,

\mathbb{C}=\{z:z=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}\text{  }ve\text{  }\sqrt{{-1}}=i\}\text{  }dir.

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b     şeklinde gösterilir.

Parabol x=-\frac{b}{{2a}}\text{ } doğrusuna göre simetriktir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar

kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, \mathbb{C}\supset \mathbb{R}\text{  }dir.

İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

{{z}_{1}}=a+bi\text{   ve   }{{z}_{2}}=c+di\text{    olsun}\text{. }

{{z}_{1}}={{z}_{2}}\text{   }ise,\text{    }(a=c\text{   }ve\text{   }b=d)\text{   }dir.

KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,

Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

x eksenine reel eksen, y eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

a,\text{ }b\in \mathbb{R}\text{  }ve\text{  }{{i}^{2}}=-1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

Z karmaşık sayısının eşleniği \displaystyle \overline{Z} ile gösterilir.

Buna göre,

\displaystyle Z=a+bi\text{  ise   }\overline{Z}=a-bi

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

\displaystyle Z=a+bi\text{  ise   }\overline{Z}=a-bi\text{ }\Rightarrow \text{  }\overline{{\left( {\overline{Z}} \right)}}=a+bi\text{  dir}\text{.}

Kural

Reel kat sayılı, a{{x}^{2}}+bx+c  ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yukarıdaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

|z{{|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}

|z|=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\text{   dir}\text{.}

KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

{{i}^{2}}=-1  olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d)    dir.

Çıkarma İşlemi

z+(-w)=z-w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

{{i}^{2}}=-1   olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z­-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d)    dir.

Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, {{i}^{2}}=-1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

z.w=a.c+a.di+b.ci+b.d.{{i}^{2}},\text{    (}{{\text{i}}^{2}}\text{=}-1\text{)}

=a.c+a.di+b.ci-b.d

=(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i    dir.

Sonuç

\displaystyle Z.\overline{Z}=(a+bi)(a-bi)

\displaystyle Z.\overline{Z}={{a}^{2}}-{{(bi)}^{2}}

\displaystyle Z.\overline{Z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}

Kural

\displaystyle {{(1+i)}^{{2n}}}={{2}^{n}}.{{i}^{n}}

\displaystyle {{(1-i)}^{{2n}}}={{(-2)}^{n}}.{{i}^{n}}

Bölme İşlemi

\displaystyle {{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\in \mathbb{C}\text{     ve   }{{\text{z}}_{2}}\ne 0\text{   olsun}\text{.}

\displaystyle {{z}_{1}}\text{.(}{{\text{z}}_{2}}{{)}^{{-1}}}\text{  say}\imath s\imath na\text{ }{{z}_{1}}\text{ in }{{\text{z}}_{2}}\text{  ye b }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ l }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ m }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{  denir ve  }\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}\text{ } biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle  yapılır. Yani,

\displaystyle {{z}_{1}}=a+bi\text{  ve  }{{\text{z}}_{2}}=c+di\text{ ise}\text{,}

\displaystyle \frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}=\frac{{a+bi}}{{c+di}}

\displaystyle =\frac{{(a+bi)(c-di)}}{{(c+di)(c+di)}}

\displaystyle =\frac{{(a.c+b.d)+(b.c-a.d)i}}{{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}}\text{     dir}\text{.}

Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

\displaystyle \overline{{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}}=\overline{{{{z}_{1}}}}+\overline{{{{z}_{2}}}}

\displaystyle \overline{{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}}=\overline{{{{z}_{1}}}}-\overline{{{{z}_{2}}}}

\displaystyle \overline{{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}}=\overline{{{{z}_{1}}}}.\overline{{{{z}_{2}}}}

\displaystyle \overline{{\left( {\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}} \right)}}=\frac{{\overline{{{{z}_{1}}}}}}{{\overline{{{{z}_{2}}}}}}\text{     (}\overline{{{{z}_{2}}}}\ne 0\text{)}

\displaystyle \overline{{{{{({{z}_{1}})}}^{n}}}}={{\left( {\overline{{{{z}_{1}}}}} \right)}^{n}}

\displaystyle |{{z}_{1}}|\text{ }=\text{ }|\overline{{{{z}_{1}}}}|\text{ }=\text{ }|-{{z}_{1}}|\text{ }=\text{ }|-\overline{{{{z}_{1}}}}|

\displaystyle {{z}_{1}}.\overline{{{{z}_{1}}}}=|{{z}_{1}}{{|}^{2}}

\displaystyle \left| {\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}} \right|=\frac{{|{{z}_{1}}|}}{{|{{z}_{2}}|}}\text{  },\text{   }({{z}_{2}}\ne 0)

\displaystyle |{{({{z}_{1}})}^{n}}|\text{ }=\text{ }|{{z}_{1}}{{|}^{n}}

\displaystyle \left| {|{{z}_{1}}|-|{{z}_{2}}|} \right|\text{   }\le \text{  }\left| {{{z}_{1}}+{{z}_{2}}} \right|\text{  }\le \text{ }|{{z}_{1}}|+|{{z}_{2}}|