Fonksiyon Konu Anlatımı | Matematik

Fonksiyon

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla

FONKSİYON:

A ≠ Ø ve B ≠ Ø  olmak üzere, A dan B ye bir β bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

∀x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f: A → B ya da x→f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

konu_fonksiyon_1

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}   biçiminde de gösterilir.

• Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

    i) A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.
    ii) B den A ya m^n tane fonksiyon tanımlanabilir.
  iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^{m.n}-n^m dir.

• Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

A ∩ B ≠ Ø olmak üzere,
f : A → R ve g : B → R  fonksiyonları tanımlansın.
1. (f + g) : A ∩ B → R , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g) : A ∩ B → R , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f . g) : A ∩ B → R , (f . g)(x) = f(x) . g(x)
4. ∀x ∈ A ∩ B için, g(x) ≠ 0 olmak üzere, \frac{f}{g} : A ∩ B → R, \left ( \frac{f}{g} \right )\left ( x \right )=\frac{f(x)}{g(x)}

5. c ∈ R olmak üzere,  f) : A → R , (c . f)(x) = c . f(x) tir.

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. Buna göre, bire bir fonksiyonda,
∀ x_1, x_2 ∈ A için, x_1 ≠ x_2 iken f(x_1) ≠ f(x_2) olur.

Diğer bir ifadeyle,
∀ x1, x2 ∈ A için, f(x_1) = f(x_2) iken
x_1 = x_2 ise, f fonksiyonu bire birdir.

s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

konu_fonksiyon_7
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

• f : A → Bf(A) = B ise, f örtendir.

s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı, m! = m . (m – 1) . (m – 2) . … . 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

• İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

• s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz)

Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f: R → R, f(x)=x  ise f birim (etkisiz) fonksiyondur.

• Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

• ∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B
   f(x) = c  ise, f sabit fonksiyondur.

s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f: R → R

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

• Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

• Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

EŞİT FONKSİYON

f : A → B
g : A → B

Her x ∈ A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

PERMÜTASYON FONKSİYON

f : A → A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A → A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup 

konu_fonksiyon_8  biçiminde gösterilir.

TERS FONKSİYON

f : A → B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f^{-1} : B → A, f^{-1} = {(y, x)|(x, y) ∈ f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

konu_fonksiyon_2
(x, y) ∈ f ise, (y, x) ∈ f^{-1} olduğu için,y = f(x) ise, x = f^{-1}(y) dir.
Ayrıca, (f^{-1})^{-1} = f dir.

• f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f^{-1} fonksiyon değildir.
• f : A → B ise, f^{-1} : B → A olduğu için, f nin tanım kümesi, f^{-1} in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f^{-1} in tanım kümesidir.

• f(a) = b ise, f^{-1}(b) = a dır.f^{-1}(b) = a ise, f(a) = b dir.

• f(x) = ax + b ise, f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}

• f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} ise, f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}

• y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f^{-1}(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

konu_fonksiyon_3
• B ⊂ R olmak üzere,

f: \left [ \frac{-b}{2a},  +∞ ) → B 

f(x)=ax²+bx+c ise, 

f^{-1}(x)=\frac{-b}{2a}+\sqrt{\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2}}  dır.

• B ⊂ R olmak üzere,

f: (-∞, \frac{-b}{2a} ) → B

f(x)=ax²+bx+c ise, 

f^{-1}(x)=\frac{-b}{2a}-\sqrt{\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2}}

BİLEŞKE FONKSİYON

f : A → B, g : B → C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

konu_fonksiyon_4
Buna göre,
f : A → B ve g : B → C olmak üzere, gof : A → C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

• (gof)(x) = g[f(x)] tir.
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.Bu durumda, fog ≠ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

• Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

• I birim fonksiyon olmak üzere,foI = Iof = f ve f^{-1}of = fof^{-1} = I dır.
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,(fog)^{-1} = g^{-1}of^{-1}ve
(fogoh)^{-1} = h^{-1}og^{-1}of^{-1} dir.

• (fog)(x) = h(x) ise, f(x) = (hog^{-1})(x) dir.
                         ise, g(x) = (f^{-1}oh)(x) tir.

• f(x)=\frac{ax+b}{cx-a} ise  f^{-1}(x) = f(x) tir.

                          (fof) (x) = x

                          (fofof) (x) = f(x)

                          (fofofof) (x) = x

FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A → B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)}

konu_fonksiyon_5
(a, b) ∈ f olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f^{-1}(b) = a dır.

konu_fonksiyon_6Yandaki = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla