Diziler Konu Anlatımı | Matematik

Diziler

 

ARİTMETİK DİZİ

TANIM

Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,

olacak şekilde bir d\in \mathbb{R}  varsa, ( {{a}_{n}} ) dizisine aritmetik dizi;

d sayısına da aritmetik dizinin ortak farkı denir.

GENEL TERİM

İlk terimi {{a}_{1}} ve ortak farkı d olan ( {{a}_{n}} ) aritmetik dizisinin genel terimini {{a}_{1}} ve d türünden bulalım:

ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

p < n olmak üzere, bir aritmetik dizinin; genel terimi,

ortak farkı,

Sonlu bir aritmetik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan (n + 2) terimli aritmetik dizinin ortak farkı,

şeklindedir.

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.

Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı {{S}_{n}} olsun. Buna göre,

 

GEOMETRİK DİZİ

TANIM

Ardışık her iki terimi arasındaki oran eşit olan diziye geometrik dizi denir.

Yani her n pozitif tam sayısı için,

olacak şekilde bir r\in \mathbb{R}-\{0\} varsa, ( {{a}_{n}} ) dizisine geometrik dizi;

r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı ya da ortak oranı denir.

 

GENEL TERİM

İlk terimi {{a}_{1}} ve ortak oranı r olan ( {{a}_{n}} ) geometrik dizisinin genel terimini {{a}_{1}} ve r türünden bulalım:

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

p < n olmak üzere, bir geometrik dizinin; genel terimi,

ortak farkı,

x ile y gibi iki reel sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan (n + 2) terimli geometrik dizinin ortak çarpanı,

şeklindedir.

Sonlu bir geometrik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

Bir geometrik dizide ilk n terim çarpımı,

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir deyişle, bir geometrik dizide, herhangi bir terimin karesi kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir.

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı {{S}_{n}} olsun.

x, y, z sayıları hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x = y = z dir.

Hem aritmetik hem de geometrik olan dizi, sabit dizidir.

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizi ve ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir.