Çemberin Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı | Matematik

Çemberin Analitik İncelenmesi


Çemberin Standart Denklemi

r, bir pozitif gerçek sayı olmak üzere düzlemde, sabit bir M noktasından, r birim uzaklıktaki noktaların geometrik yerine çember denir.

M noktasına çemberin merkezi, r gerçek sayısına ise çemberin yarıçapı denir.

Buna göre, merkezi M (a, b) yarıçapı r birim olan çem­berin standart denklemi:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

 

Çemberin Genel Denklemi

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 çember denkleminde parantezler açılırsa,

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = O elde edilir.

-2a = D, -2b = E, ve a2 + b2-r2 = F yerine yazılırsa çemberin genel denklemi:

Denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = O şeklinde verilen çemberde

D2 + E2 – 4F ifadesine çemberin diskriminantı denir.

=> D2 + E2 – 4F  > O   ise    denklem    çember belirtir.

=> D2 + E2 – 4F  = O   ise    denklem    bir nokta belirtir.

=> D2 + E2 – 4F  < 0   ise    denklem    çember belirtmez. (sanal çember belirtir)

 

Bir Nokta ile Çemberin Konumu

P(x, y) noktası ile x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberi verilsin.

P noktasını çember denkleminde yerine koyup elde edi­len sayıya k dersek

k > 0    => nokta çemberin dışında

k = 0    => nokta çemberin üzerinde

k < 0     => nokta çemberin içindedir.

 

 

 

Bir Doğru ile Çemberin Konumu

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 çemberi ile y = mx + n doğrusu­nun durumu incelenirken ortak çözüm yapılır. Ortak çö­zümde x e göre elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı

=>   Δ < 0 ise doğru çemberi kesmez.

=>   Δ = 0 ise doğru çembere teğettir.

=>   Δ > 0 ise doğru çemberi farklı iki noktada keser.

 

 

Çemberin Teğet ile Normal Denklemi

Çemberin herhangi bir noktasından geçen ve OA yer vektörüne dik olan doğruya bu noktadaki teğet doğrusu, yer vektö­rünü doğrultman kabul eden doğruya normal doğrusu denir.

Çember üzerindeki herhangi bir A noktasından geçen normal merkezden de geçer. Bundan dolayı, OA nın eğimi normalin eğimidir.