Çarpanlara Ayırma | Matematik

Çarpanlara Ayırma

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

A(x).B(x)±A(x).C(x)=A(x).[B(x)±C(x)]

ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı – Toplamı

1) a² – b² = (a – b)(a + b)
2) a² + b² = (a + b)² – 2ab
3) a² + b² = (a – b)² + 2ab

2. İki Küp Farkı – Toplamı
1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )
2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,
x^n – y^n = (x – y)(x^{n-1} + x^{n-2} y + x^{n-3} y² + … + xy^{n-2} + y^{n-1}) dir.

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
x^n + y^n = (x + y)(x^{n-1} –  x^{n-2} y + x^{n-3} y² – … – xy^{n-2} + y^{n-1}) dir.

4. Tam Kare İfadeler
1) (a + b)² = a² + 2ab + b²
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²
3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ≤ b olmak üzere

• (a – b)^{2n} = (b – a)^{2n}
• (a – b)^{2n-1} = –(b – a)^{2n-1}  dir.

• (a + b)² = (a – b)² + 4ab

5. (a ± b)^{n} nin Açılımı

Pascal Üçgeni

konu_carpanlara_ayirma_1

(a ± b)^{n} açılımı yapılırken, önce a nın n. kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)^{n} yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

• (a + b)^{4} = a^{4} + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b^{4}

• (a – b)^{4} = a^{4} – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b^{4}

• a^{4} + a² + 1 = (a² + a + 1)(a² – a + 1)

• a^{4} + 4 = (a² + 2a + 2)(a²– 2a + 2)

• a4 + 4b^{4} = (a² + 2ab + 2b²)(a² – 2ab + 2b²)

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)

ax² + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax² + bx² + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

1. YÖNTEM

1. a = 1 için,
    b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

      x² + bx + c = x² + (m+n)x + m.n

                                 = (x +m )( x + n )
2. a ≠ 1 iken
    m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

    ax² + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi, toplamı b yi veren iki sayı bulunur.
Bulunan sayılar p ve r olsun.
Bu durumda, 

a² + bx + c = ax² + (p+r)x + c

                  = ax² + px + rx + c   olur. (*)

(*) daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr

Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla