Belirsiz İntegral Konu Anlatımı | Matematik

Belirsiz İntegral

 

DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir. Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

dy = f ‘(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonuna f(x) in belirsiz integrali denir ve
   şeklinde gösterilir.
    sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,
F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.
f(x) in integralini bulmak, türevi f(x) e eşit olan fonksiyonu bulmaktır.

İNTEGRAL ALMA KURALLARI







 

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.




  den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

  den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,  değişken değiştirmesi yapılır.

  
 den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × tant değişken değiştirmesi yapılır.

  köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak için E.k.o.k.(m, n) = p olmak üzere, ax + b = t^p değişken değiştirmesi yapılır.

 

Kısmi İntegrasyon Yöntemi

u = f(x)
v = g(x) olsun.
u × v nin diferansiyeli,
d(u × v) = du × v + dv × u olur. Buradan,
u × dv = d(u × v) – v × du olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

Kısmî integralde u nun ve dv nin doğru seçilmesi çok önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak yerine, çözümden uzaklaşılır. Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel olarak yapılabilir. Ancak, kolaylık sağlayacağı için aşağıdaki kuralı göz önüne alabilirsiniz.

n bir doğal sayı olmak üzere,

f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,

Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.
Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi
sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki integrallerde şu iki özdeşlik kullanılır.

 

biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla sonuçlandırırız.