2.Dereceden Denklemler Konu Anlatımı | Matematik

2.Dereceden Denklemler

 

a, b, c gerçel sayı ve a\ne 0 olmak üzere,  a{{x}^{2}}+bx+c=0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

Çarpanlara Ayırma Yöntemi

a{{x}^{2}}+bx+c=0  denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

Diskiriminant (\Delta ) Yöntemi

a{{x}^{2}}+bx+c=0 denklemi a\ne 0 ve \Delta ={{b}^{2}}-4ac ise, çözüm kümesi

\left\{ {\frac{{-b-\sqrt{\Delta }}}{{2a}}\text{ }\text{, }\frac{{-b+\sqrt{\Delta }}}{{2a}}} \right\}\text{       d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

a{{x}^{2}}+bx+c=0  denkleminde;

\Delta >0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler;

{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{\Delta }}}{{2a}}\text{   d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

\Delta <0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

\Delta =0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır. Bu kökler;

{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{{2a}}\text{   d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

a{{x}^{2}}+bx+c=0 denkleminin kökleri simetrik ise,  b=0 ve a\ne 0  dır.

Simetrik kökleri gerçel ise, b=0 ve a\ne 0\text{   ve   a}\text{.c}\le \text{0  d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a{{x}^{2}}+bx+c=0 denkleminin kökleri {{x}_{1}}\text{ ve }{{x}_{2}}\text{  ise}\text{,}

\displaystyle 1)\text{  }{{\text{x}}_{1}}+{{\text{x}}_{2}}=-\frac{b}{a}

\displaystyle 2)\text{  }{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}=\frac{c}{a}

\displaystyle 3)\text{  }\frac{1}{{{{\text{x}}_{1}}}}+\frac{1}{{{{\text{x}}_{2}}}}=\frac{{{{\text{x}}_{1}}+{{\text{x}}_{2}}}}{{{{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}}}=\frac{{-\frac{b}{a}}}{{\frac{c}{a}}}=-\frac{b}{c}

\displaystyle 4)\text{  }\left| {{{\text{x}}_{1}}-{{\text{x}}_{2}}} \right|=\frac{{\sqrt{\Delta }}}{{\left| a \right|}}

\displaystyle 5)\text{  }{{\text{x}}_{1}}^{2}+{{\text{x}}_{2}}^{2}={{({{\text{x}}_{1}}+{{\text{x}}_{2}})}^{2}}-2{{\text{x}}_{1}}{{\text{x}}_{2}}={{\left( {-\frac{b}{a}} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{c}{a}=\frac{{{{b}^{2}}-2ac}}{{{{a}^{2}}}}

\displaystyle 6)\text{  }{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})

\displaystyle \text{                    }={{\left( {-\frac{b}{a}} \right)}^{3}}-3\cdot \frac{c}{a}\left( {-\frac{b}{a}} \right)=-\frac{{{{b}^{3}}}}{{{{a}^{3}}}}+\frac{{3bc}}{{{{a}^{2}}}}

\displaystyle \text{                    }=\frac{{-{{b}^{3}}+3abc}}{{{{a}^{3}}}}

KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri {{x}_{1}} ve {{x}_{2}} olan ikinci dereceden denklem;

(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})=0\text{  d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.} Bu ifade düzenlenirse,

{{x}^{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})x+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=0\text{     olur}\text{.}

a{{x}^{2}}+bx+c=0  denkleminin kökleri {{x}_{1}}\text{ ve }{{x}_{2}}\text{ } olsun.  Kökleri  m{{x}_{1}}\text{+n} ve m{{x}_{2}}\text{+n} olan ikinci dereceden denklem, a{{x}^{2}}+bx+c=0  denkleminde x yerine

\frac{{x-n}}{m}\text{   yaz }\!\!\imath\!\!\text{ larak bulunur}\text{.}

a{{x}^{2}}+bx+c=0  ve d{{x}^{2}}+ex+f=0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}\text{    d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

a{{x}^{2}}+bx+c=0   ve d{{x}^{2}}+ex+f=0 denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

a{{x}^{2}}+bx+c=d{{x}^{2}}+ex+f

(a-d){{x}^{2}}+(b-e)x+c-f=0\text{   d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}\text{    d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

TANIM

a\ne 0 olmak üzere, a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

\displaystyle {{x}_{1}}+\text{ }{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{b}{a}\text{   }d\imath r.

\displaystyle {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{3}}+\text{ }{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=\frac{c}{a}\text{   }d\imath r.

\displaystyle {{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\frac{d}{a}\text{   }d\imath r.

KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI        

Kökleri \displaystyle {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\text{ ve }{{x}_{3}} olan üçüncü derece denklem

\displaystyle (x-{{x}_{1}}).(x-{{x}_{2}}\text{)}\text{.(x}-{{x}_{3}})=0\text{    d }\!\!\imath\!\!\text{ r}\text{.}

Bu denklem düzenlenirse,

\displaystyle {{x}^{3}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}){{x}^{2}}+({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}})x-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=0\text{    olur}\text{.}